常用对数怎么求：lg的查表方法与运算性质

常用对数怎么求，分两步：先把真数写成 a × 10ⁿ（1 ≤ a < 10），lg N 就等于 n + lg a；整数 n 叫首数，直接由小数点位置读出，lg a 叫尾数，从四位对数表里查。比如 lg 303 = lg(3.03 × 10²) = 2 + 0.4814 = 2.4814。下面讲查表和估读的方法，再用运算性质解三道题。

定义与几个整数值

lg N 表示以 10 为底 N 的对数，也就是「10 的几次方等于 N」。真数恰好是 10 的整数次幂时，对数就是那个指数：

N	0.01	0.1	1	10	100	1000
lg N	−2	−1	0	1	2	3

其余的数夹在两个整数之间，例如 100 < 303 < 1000，所以 2 < lg 303 < 3。整数部分就是首数，小数部分要靠对数表。

首数与尾数：查表的思路

四位对数表只列 1.00 到 9.99 之间各数的对数（即尾数），表头左列是前两位数字，上方一行是第三位数字，右侧还有修正值栏，用来补第四位有效数字。查 lg 3.03：在左列找到「30」，向右移到上方写「3」的那一列，交叉处是 4814，所以 lg 3.03 = 0.4814。

任何正数都能这样处理，尾数只看有效数字，与小数点位置无关：

• 303 = 3.03 × 10²，首数 2，lg 303 = 2.4814；
• 0.0303 = 3.03 × 10⁻²，首数 −2，lg 0.0303 = −2 + 0.4814 = −1.5186。

负的首数在对数表的书写习惯里常把负号写在数字上方，写成 2 上加一横再接 .4814，尾数保持正数，这样查反对数时还能直接用同一行表。换成普通写法就是：

估读：手边只有粗表时

如果只知道 lg 3.0 = 0.4771 和 lg 3.1 = 0.4914，可以按比例估出中间的值。3.03 在 3.0 与 3.1 之间走了十分之三，对数也大约增加两者之差的十分之三：

0.4771 + 0.3 × (0.4914 − 0.4771) = 0.4771 + 0.3 × 0.0143 ≈ 0.4814

结果与四位表一致。这种估读在两个表值相距很近时可用，相距较远时误差会变大，因为对数曲线是弯的。

lg 的运算性质与三道例题

性质	写法	条件
积	lg(MN) = lg M + lg N	M > 0，N > 0
商	lg(M/N) = lg M − lg N	M > 0，N > 0
幂	lg Mⁿ = n·lg M	M > 0
特殊值	lg 1 = 0，lg 10 = 1	—

例 1 求 lg 2 + lg 5。由积的性质，lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1，不用查表。

例 2 已知 lg x = 1.4814，求 x。尾数 0.4814 查表对应 3.03，首数 1 说明乘 10¹，x = 30.3。这一步叫查反对数。

例 3 2³⁰ 是几位数？lg 2³⁰ = 30 × lg 2 ≈ 30 × 0.3010 = 9.03，首数是 9，所以 2³⁰ 在 10⁹ 与 10¹⁰ 之间，是 10 位数。核对：2³⁰ = 1073741824，正好十位。

在编辑器里输入常用对数，打 \lg 符号随打随显，按空格结束命令再写真数；约等号用 \approx，下图是例 3 录好的样子。

四处常见差错

1. 小于 1 的数，首数算错。 0.0303 的第一个非零数字在小数点后第 2 位，首数是 −2，写成 −1 就会得到 −0.5186。
2. 把负对数的尾数也写成负的。 −1.5186 查表前要先写成 −2 + 0.4814，拿 0.5186 去查就错了。
3. 把 lg(M + N) 拆成 lg M + lg N。 积的性质只对乘积成立，lg 2 + lg 3 = lg 6，而 lg(2 + 3) = lg 5。
4. 有效数字多于四位时硬查。 四位表连同右侧修正值栏最多查到四位有效数字（如 lg 3.037：4814 加修正值 10，得 0.4824），lg 30.372 这类数先取 30.37 再查，或者用上面的比例法估读。

判断位数这类题，关键在于首数加 1 就是位数；尾数只决定开头几位数字是多少，例 3 的尾数 0.03 对应开头的「1.07」。

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