线性回归方程：列表算x̄、ȳ求b与a的步骤

求线性回归方程 ŷ = b̂x + â，按四步走：列表算出 x̄、ȳ，再算 Σxᵢyᵢ 和 Σxᵢ²，代公式求斜率 b̂，最后用 â = ȳ − b̂x̄ 求截距。整个过程的计算量都在那张表里，表列对了，后面两步只是代数。下面用一组 5 对数据从头算一遍，得到 ŷ = 1.7x + 0.3。

公式与四个步骤

高中教材用最小二乘法求 b̂ 与 â，公式里有四个量要先算：x̄、ȳ、Σxᵢyᵢ、Σxᵢ²。分子 Σxᵢyᵢ − n·x̄·ȳ 与分母 Σxᵢ² − n·x̄² 结构相同，前者是「乘积和」，后者是「平方和」，都减去 n 倍的平均数乘积。记住这个对称结构，比死记公式可靠。

四个步骤：

1. 列表：一列 xᵢ、一列 yᵢ，再加 xᵢyᵢ 和 xᵢ² 两列，最后一行写合计；
2. 求平均数：x̄ = Σxᵢ/n，ȳ = Σyᵢ/n；
3. 求 b̂：把合计和平均数代进上面的公式；
4. 求 â：â = ȳ − b̂x̄，写出方程 ŷ = b̂x + â。

b̂ 的符号表示相关方向：b̂ > 0 时 y 随 x 增大而增大（正相关），b̂ < 0 时是负相关。它的数值表示 x 每增加 1 个单位，y 平均增加多少。

先判断能不能用线性回归。把数据点画在坐标系里，点大致排成一条直线时才适合；点呈明显的曲线形状，或者散成一团，求出来的方程没有预测意义。教材用相关系数 r 衡量线性相关的强弱，|r| 越接近 1，点越贴近一条直线。下文例题的 5 组数据算出 r ≈ 0.995，适合用线性回归。

计算时建议保留原始数据的小数位数，中间结果不要四舍五入太早。x̄、ȳ 若是循环小数，先写成分数代入，最后再化成小数，b̂ 和 â 的误差会小得多。

b̂ 的公式写成标准形式如下（图里记作 b，不加帽），截距再用 â = ȳ − b̂x̄ 求：

完整例题：5 组数据

某门店连续 5 周的广告投入 x（千元）与销售额 y（万元）如下：x 依次为 1、2、3、4、5，y 依次为 2、4、5、7、9。求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测广告投入 6 千元时的销售额。

第 1 步：列表。

第 2 步：平均数。 Σxᵢ = 15，x̄ = 3；Σyᵢ = 27，ȳ = 5.4。

第 3 步：求 b̂。 Σxᵢyᵢ = 2 + 8 + 15 + 28 + 45 = 98，Σxᵢ² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55。

b̂ = (98 − 5 × 3 × 5.4)/(55 − 5 × 3²) = (98 − 81)/(55 − 45) = 17/10 = 1.7。

第 4 步：求 â。 â = 5.4 − 1.7 × 3 = 0.3，回归方程为 ŷ = 1.7x + 0.3。

预测：x = 6 时，ŷ = 1.7 × 6 + 0.3 = 10.5，即估计销售额约为 10.5 万元。这是估计值，实际销售额会在它附近波动。

把 5 个数据点和回归直线画在同一张图上，能看出 5 个点紧贴直线分布，标着「中心点」的 (3, 5.4) 恰好在直线上：

用中心点检验结果：把 x = 3 代入，1.7 × 3 + 0.3 = 5.4 = ȳ，说明 â 没有算错。每个 x 对应的预测值依次是 2.0、3.7、5.4、7.1、8.8，与实际值 2、4、5、7、9 相差 0、0.3、−0.4、−0.1、0.2，正负相抵，加起来正好是 0。

列表时的四个易错点

• Σxᵢ² 算成 (Σxᵢ)²。 前者是 55，后者是 225，差得很远；表里专门留一列 xᵢ² 就是为了避免这个错。
• 分母漏乘 n。 分母是 Σxᵢ² − n·x̄²，写成 Σxᵢ² − x̄² 就成了 55 − 9 = 46。
• â 的公式记反。 â = ȳ − b̂x̄，不是 x̄ − b̂ȳ；用中心点代回一试就知道。
• 把预测值当确定值。 回归方程给的是估计，题目问「预测」时答「约为」。

算完的整套过程如果要交作业或做成讲义，下面这段 b̂ 的代入式（记作 b，不加帽）可以直接复制进编辑器，数字换成自己的数据：

b=\frac{98-5\times 3\times 5.4}{55-5\times 3^2}=\frac{17}{10}=1.7

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