椭圆离心率怎么求：公式法、齐次式与几何法

椭圆离心率怎么求，按题目给的条件分三种做法：直接知道 a、c（或 a、b）时用公式法，e = c/a，缺的那个量用 a² = b² + c² 补；条件只给出 a、b、c 之间的一个等量关系时，把它整理成齐次式，两边除以 a² 解关于 e 的方程；条件落在焦点三角形上时，用椭圆定义 |PF₁| + |PF₂| = 2a 和三角形的边角关系，直接找 2a 与 2c 的比。离心率总在 0 与 1 之间，解出来的值要用这个范围检验。

三种方法速查

三种方法的共同终点是 e = c/a 这个比值。齐次式法的思路是：a、b、c 三个量求不出来，但它们的比值能求出来，所以把 b² 换成 a² − c²，让方程每一项都是「二次」的，再同除以 a²。几何法本质上也是在找比值，只是比值来自图形，而不是方程。

下面三道例题各用一种方法，难度依次递增，图是例 1 的椭圆，两个焦点和短轴上端点标了坐标，长轴端点在 x 轴上 ±5 处。

例题示范

例 1（公式法） 求椭圆 x²/25 + y²/16 = 1 的离心率。

a² = 25，b² = 16，所以 a = 5，b = 4。由 a² = b² + c² 得 c² = 9，c = 3。离心率 e = c/a = 3/5。焦点是 F₁(−3, 0)、F₂(3, 0)，对照上图，焦点到中心的距离与长半轴之比正是 3 比 5。

例 2（齐次式） 椭圆 x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）的左、右焦点为 F₁、F₂，过 F₁ 作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，若 △ABF₂ 是正三角形，求离心率。

把 x = −c 代入椭圆方程，得 |AF₁| = b²/a。在正三角形里 AF₂ 与 F₁F₂ 的夹角是 30°，所以 |AF₁| = |F₁F₂| · tan 30°，即 b²/a = 2c/√3。

整理得 √3 b² = 2ac，把 b² 换成 a² − c²，两边同除以 a²：

解得 e = √3/3 或 e = −√3，舍去负根，e = √3/3。

例 3（几何法） 椭圆上一点 P 满足 PF₁ ⊥ PF₂，且 ∠PF₁F₂ = 30°，求离心率。

在直角三角形 PF₁F₂ 中，斜边 |F₁F₂| = 2c。30° 角所对的边 |PF₂| = c，另一条直角边 |PF₁| = √3c。由椭圆定义，2a = |PF₁| + |PF₂| = (√3 + 1)c，所以 e = c/a = 2/(√3 + 1) = √3 − 1，约等于 0.732，在 (0, 1) 内。

例 3 的焦点三角形如下图，30° 角的对边是 PF₂：

常见错误

• 把 b 当成 c。 例 1 若写 e = 4/5，就是误把短半轴当焦距的一半。a、b、c 里只有 a 最大，c 与 b 谁大取决于椭圆扁不扁。
• 齐次式忘记换掉 b²。 方程里同时留着 b 和 c，无法化成只含 e 的式子；先用 a² − c² 把 b² 消掉。
• 不检验范围。 例 2 的方程有两个根，负根一眼就能排除；若解出的值大于 1，说明前面列式有误。
• 几何法把角对错边。 30° 角对的是短直角边，等于斜边的一半，也就是 c，别写成 √3c。

例 3 最后一步是把 2/(√3 + 1) 分母有理化，写成一行是这样：

备课时可以把例 2 的齐次式推导写成一行，用 ⇒ 连起三步：由 √3 b² = 2ac 到代换、再到关于 e 的方程，学生看得清每一步从哪来。

\sqrt{3}\,b^2=2ac\ \Rightarrow\ \sqrt{3}(a^2-c^2)=2ac\ \Rightarrow\ \sqrt{3}e^2+2e-\sqrt{3}=0

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