十字相乘法：二次三项式因式分解的试凑步骤

十字相乘法的步骤只有四步：把二次项系数拆成两个因数写在左列，把常数项拆成两个因数写在右列，交叉相乘再相加，和等于一次项系数就按横行写出两个一次因式。二次项系数为 1 时，左列固定是 1 和 1，只要找「积等于常数项、和等于一次项系数」的两个数。二次项系数不为 1 时，要把两列的拆法轮流搭配着试，试凑的次数会多一些。

人教版初中教材（2013 版八年级上册）在因式分解一章用阅读材料介绍了 x² + (p + q)x + pq 型式子的分解，这正是二次项系数为 1 的情形；新版教材在陆续换版，编排以手上的版本为准。下面按「先 1、后不为 1」的顺序各做两道题，每一道都把十字图的四个数、交叉乘积和最后的因式写全，读者可以逐项用乘法展开核对。

先看结论：拆两头、凑中间

对二次三项式 ax² + bx + c，要找四个整数 a₁、a₂、c₁、c₂，满足下面三个条件：

三个条件都满足，就写成 (a₁x + c₁)(a₂x + c₂)。注意结果是按横行读的：左上配右上、左下配右下，交叉只用来检验中间项。

动手前先看常数项的符号，能省掉一半试凑：c 为正，c₁、c₂ 同号，而且和 b 同号；c 为负，c₁、c₂ 一正一负，绝对值大的那个与 b 同号（二次项系数为 1 时）。

二次项系数为 1 的两道例题

例 1　分解 x² − 7x + 12。

1. 常数项 12 为正、一次项系数 −7 为负，所以两个数都是负数。
2. 列出 12 的负因数对：(−1, −12)、(−2, −6)、(−3, −4)，它们的和依次是 −13、−8、−7。
3. 和为 −7 的是 (−3, −4)，写成十字图：左列 1、1，右列 −3、−4。
4. 结果是 (x − 3)(x − 4)。展开验一次：x² − 4x − 3x + 12 = x² − 7x + 12。

例 2　分解 x² + 2x − 15。

1. 常数项 −15 为负，两个数一正一负；一次项系数 2 为正，所以绝对值大的那个取正。
2. 候选对：(15, −1)、(5, −3)，和分别是 14 和 2。
3. 取 (5, −3)，十字图左列 1、1，右列 5、−3，交叉和 1 × (−3) + 1 × 5 = 2。
4. 结果如下，可以点公式下方的「在编辑器中打开」把它带进编辑器：

x^2+2x-15=(x+5)(x-3)

二次项系数不为 1 的两道例题

例 3　分解 2x² + 7x + 3。

1. 2 只能拆成 1 × 2；3 为正、7 为正，右列取正因数 1 × 3。
2. 左列 2、1 不动，右列有两种摆法：右列 1、3 时交叉和是 2 × 3 + 1 × 1 = 7；右列 3、1 时交叉和是 2 × 1 + 1 × 3 = 5。
3. 第一种对上，按横行读：第一行 2 和 1，第二行 1 和 3。
4. 结果是 (2x + 1)(x + 3)，展开得 2x² + 6x + x + 3，与原式相同。

例 4　分解 6x² − x − 2。

这一题左列有 1 × 6、2 × 3 两种拆法，右列 −2 有 (1, −2)、(−1, 2) 两种拆法，再算上右列上下对调，要试的组合明显变多。把试凑过程列成表最不容易漏：

表里只有「左列 2、3，右列 1、−2」一行的交叉和是 2 × (−2) + 3 × 1 = −1。按横行读出两个因式：

6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)

展开核对：6x² − 4x + 3x − 2 = 6x² − x − 2。十字图的写法如下图：左边是十字图（左右两列各两个数，中间一个交叉记号），右边写交叉乘积之和与分解结果。

四个常见错误

还有一个判断题要会：x² + 3x + 1 的判别式是 9 − 4 = 5，不是完全平方数，在整数范围内分解不了，这时停止试凑、改用公式法。

把例 4 的试凑表和结果录进公式编辑区：在「LaTeX」模式里输入 6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)，切回「可视化」模式核对上下标和括号，再从顶栏「导出」选「Word（含公式）」放进练习卷，导出需要登录并开通本站会员。

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