复数的除法：分子分母同乘共轭复数

复数的除法只有一个要点：分子、分母同时乘分母的共轭复数。分母 c + di 乘上 c − di 得到实数 c² + d²，分母里的 i 就消掉了，结果写成 a + bi 的标准形式。分子分母必须一起乘，只乘分母等于把原式乘了一个不等于 1 的数，结果就错了。

为什么乘共轭能让分母变成实数

两个互为共轭的复数相乘，用平方差公式：(c + di)(c − di) = c² − d²i² = c² + d²。因为 i² = −1，减号变成加号，积是一个正实数，里面没有 i。这就是「分母实数化」，和初中把分母里的根号去掉（分母有理化）是同一个思路。

分子也乘了同一个 c − di，整个分式相当于乘以 (c − di)/(c − di)，也就是乘 1，值没有变。展开分子、把 i² 换成 −1，再把实部、虚部分别除以 c² + d²，就得到结果。

把这个过程一次写完，就是复数除法的一般公式。公式不必死记，考试时照「同乘共轭」算一遍更不容易错。它的用处是验算：算完一道题，用 a、b、c、d 代进去对一下实部和虚部。

计算里经常要用到 i 的幂。i 的正整数次幂以 4 为周期循环：i¹ = i，i² = −1，i³ = −i，i⁴ = 1。求 iⁿ 时，先用 n 除以 4 取余数，余数是几就等于 i 的几次方，余数为 0 时等于 1。

一般公式与 i 的幂周期整理成下面两张图：

三道例题

例 1（基本题） 计算 (3 + 4i) ÷ (1 − 2i)。

分母的共轭是 1 + 2i。分母：(1 − 2i)(1 + 2i) = 1 + 4 = 5。分子：(3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i。结果为 (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i。

验算：(−1 + 2i)(1 − 2i) = −1 + 2i + 2i − 4i² = 3 + 4i，正好是原来的分子。

例 2（先算乘方） 计算 (1 + i)² ÷ (1 − i)。

先化简分子：(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i。再除以 1 − i，分子分母同乘 1 + i：2i(1 + i)/2 = i + i² = −1 + i。

例 3（含 i 的高次幂） 计算 i²⁰²⁷ ÷ (1 + i)。

2027 除以 4 得 506 余 3，所以 i²⁰²⁷ = i³ = −i。原式 = −i/(1 + i)，同乘 1 − i：分母 (1 + i)(1 − i) = 2，分子 −i(1 − i) = −i + i² = −1 − i。结果为 −1/2 − (1/2)i。

例 1 的完整步骤可以直接复制，在编辑器里对照检查自己的书写：

\frac{3+4i}{1-2i}=\frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i

常见错误：只乘分母

最常见的错是只给分母乘了共轭，分子原样照抄。以例 1 为例，写成 (3 + 4i)/5，得到 3/5 + (4/5)i，与正确答案 −1 + 2i 差得很远。原因在于只乘分母等于把整个式子除以了 1 + 2i，值已经变了。

另外三处也常丢分：

• 分母算成 c² − d²。 (1 − 2i)(1 + 2i) 写成 1 − 4 = −3，是忘了 i² = −1，正确的是 1 + 4 = 5。
• i 的幂余数取错。 i²⁰²⁷ 按余数 3 是 −i，写成 i 或 −1 都是余数算错了。
• 结果没写成 a + bi。 例 3 停在 (−1 − i)/2 也不算完，要拆成实部 −1/2、虚部 −1/2 两部分。

除法做完，习惯性把结果乘回分母，看能不能还原分子，很快就能发现乘错的地方。写作业或出练习卷时，点例 1 代码块下方的「在编辑器中打开」，把 3 + 4i 和 1 − 2i 换成自己的题，分式线和上下两行会自动排好。

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