鸡兔同笼：假设法、方程法与画图法3种解法

鸡兔同笼问题有三种常用解法：假设法先假设全是鸡，用少算的脚数除以 2 求出兔；方程法设兔为 x 只，按脚数列方程求解；画图法把每个头先画两条腿，多出来的腿两条一组分给兔。三种方法算的是同一件事：每只兔比每只鸡多 2 只脚。下面用《孙子算经》里那道原题「上有三十五头，下有九十四足」把三种解法各走一遍，再做两道变式。

三种解法对照

三种方法的答案都是兔 12 只、鸡 23 只。验算：12 + 23 = 35 个头，12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94 只脚，对得上。

例题：35 个头，94 只脚

假设法。 假设 35 只全是鸡，应有 35 × 2 = 70 只脚，比实际少 94 − 70 = 24 只。把一只鸡换成一只兔，脚多 2 只，所以要换 24 ÷ 2 = 12 次，兔有 12 只，鸡有 35 − 12 = 23 只。也可以反过来假设全是兔：35 × 4 = 140 只脚，多出 140 − 94 = 46 只，46 ÷ 2 = 23，先求出的是鸡。两种假设殊途同归，考试时选自己顺手的一种，写清「假设全是某种动物」这句话，阅卷老师才看得懂你的思路。

方程法。 设兔有 x 只，鸡就有 35 − x 只，按脚数列方程：4x + 2(35 − x) = 94，展开得 2x + 70 = 94，x = 12。学了二元一次方程组以后，也可以设鸡 x 只、兔 y 只，两个未知数各列一条：

\begin{cases}x+y=35\\2x+4y=94\end{cases}

第二个方程减去第一个方程的 2 倍，得 2y = 24，y = 12，再代回得 x = 23。

画图法。 在纸上画 35 个圆圈代表 35 个头，每个圆圈下面先画两条腿，一共用掉 70 条；还剩 24 条腿，两条一组添到圆圈上，添了 12 组，这 12 个四条腿的就是兔。

抬腿法：画图法的另一种讲法

让所有动物抬起一半的脚：鸡抬起一只、只用一只脚站着，兔抬起两只、用两只脚站着。这时地上的脚是 94 ÷ 2 = 47 只。每只鸡只剩 1 只脚着地，每只兔剩 2 只，如果全是鸡应当有 35 只脚着地，多出来的 47 − 35 = 12 只，就是每只兔多出的那一只，所以兔是 12 只。画图时可以把 35 个圆圈排成一行，鸡下面画一条竖线、兔下面画两条，数多出来的竖线。下面是这组算式。

两道变式题

变式一：龟鹤问题。 龟和鹤共 24 只，腿共 68 条，龟、鹤各几只？龟 4 条腿、鹤 2 条腿，结构和鸡兔同笼一样。假设全是鹤：24 × 2 = 48，少 68 − 48 = 20 条，20 ÷ 2 = 10，龟 10 只、鹤 14 只。验算：40 + 28 = 68。

变式二：答题得分。 一次测验 20 道题，答对一题得 5 分，答错或不答扣 1 分，小明得了 76 分，他答对几题？假设全对得 100 分，实际少 24 分；每错一题，不但少得 5 分还要扣 1 分，一共差 6 分，24 ÷ 6 = 4，错 4 题、对 16 题。验算：16 × 5 − 4 = 76。这道题里「每换一个差多少」是 6 而不是 2，这是最容易错的地方。

常见错误

1. 除数写成 4。 假设法里要除以每只兔比鸡多的脚数 4 − 2 = 2，除以 4 就错了。
2. 分不清先求出的是谁。 假设全是鸡，先求出的是兔；假设全是兔，先求出的是鸡。
3. 变式题照搬 2。 答题得分题里，一题对错相差 5 + 1 = 6 分。

写作业时可以把方程法那组方程排出来：点方程组代码块下方的「在编辑器中打开」，把 35 和 94 换成自己题目里的头数、脚数，在可视化模式里核对 2x 和 4y 的系数有没有写反。

延伸阅读

• 小学数学应用题：12 类典型题的数量关系对照，鸡兔同笼的假设法与方程法都在其中
• 文章列表：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类，找更多小学数学专题
• 帮助中心：编辑器里方程组、分式模板的用法说明
• 二元一次方程组解法：代入消元与加减消元对照