工程问题：把工作总量看作单位“1”的解法

工程问题的基本关系是：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。题目往往只说「甲单独做 10 天完成」，不给工作总量是多少，这时把全部工作量看作单位「1」，甲每天就完成它的 1/10，效率是几分之一；合作时效率相加，用 1 除以效率和，就是合作要几天。整个解法只围绕这一个式子变形。

四个量的速查

先把工程问题里要用到的四个算式放在一起，后面的例题都是它们的组合：

为什么能把总量看作 1

例 1 一条路，甲队单独修 10 天完成，乙队单独修 15 天完成。两队合修，几天完成？

把这条路看作 1，甲队每天修 1/10，乙队每天修 1/15，两队每天合修 1/10 + 1/15 = 1/6，合修时间 1 ÷ 1/6 = 6 天。

路到底有多长，并不影响答案，这正是可以把它看作 1 的原因。可以随便设一个方便的长度来检验：设路长 30 千米（10 和 15 的公倍数），甲队每天修 3 千米，乙队每天修 2 千米，合修每天 5 千米，30 ÷ 5 = 6 天，结果相同。看作 1，就是省掉这一步假设。

图里整条线段是 1。6 天里甲队修了 6 × 1/10 = 3/5，乙队修了 6 × 1/15 = 2/5，两段拼起来正好是 1，这也是验算。

例 2、例 3：先后做与合作后一人做完

例 2 一项工程，甲单独做 20 天完成，乙单独做 30 天完成。甲先做 8 天，剩下的由乙做，乙还要几天？甲 8 天完成 8 × 1/20 = 2/5，剩下 1 − 2/5 = 3/5，乙还要 3/5 ÷ 1/30 = 18 天。

例 3 一批零件，师傅单独做 9 小时完成，徒弟单独做 18 小时完成。两人合作 4 小时后，余下的由徒弟做，徒弟还要几小时？列表整理三个量，每一行都满足「效率 × 时间 = 工作量」：

两人效率和 1/9 + 1/18 = 1/6，合作 4 小时完成 4 × 1/6 = 2/3，剩下 1/3，徒弟还要 1/3 ÷ 1/18 = 6 小时。验算：师傅一共做 4 小时完成 4/9，徒弟一共做 10 小时完成 10/18 = 5/9，合起来是 1。

常见错误：把时间当效率加

例 1 里最常见的错，是把 10 天和 15 天相加，或者取平均得 12.5 天。一个简单的检查：两队合修，一定比任何一队单独修都快，所以合作时间必须比 10 天还短，算出 12.5 或 25 天一眼就知道错了。

另一种错出在例 2：算出甲做了 2/5 后，直接用 2/5 ÷ 1/30 求乙的时间。乙要做的是剩下的 3/5，所以先减、再除，顺序不能跳。

在编辑器里写分数算式

工程问题的算式离不开分数。在本站编辑器里点符号面板「常用」页签的分式模板，先填分子，按 ↓ 进分母；也可以直接敲 LaTeX。例 2 的综合算式如下：

\left(1-\frac{1}{20}\times8\right)\div\frac{1}{30}=18

括号用 \left( 和 \right)，会随里面的分数自动变高，讲义上看起来更整齐。把例 3 换成自己的数字时，记得先确认效率和、完成部分、剩余部分三行加起来能回到 1。

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