向量公式大全：数量积、夹角与投影

向量公式大全按高中教材的顺序分五组：线性运算、模与数量积、夹角与平行垂直、投影、空间向量坐标。核心只有一条数量积公式 a·b = |a||b|cos θ，夹角、垂直、投影都是从它推出来的，记牢它再记坐标形式，其余公式都能现推。下面每组先写几何形式，再写坐标形式，最后用同一组向量 a = (3, 4)、b = (2, −1) 把所有公式算一遍。

线性运算与模

设 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，λ 为实数，下表把常用的坐标运算放在一起：

几何上，三角形法则说的是首尾相接：AB 向量加 BC 向量等于 AC 向量；减法则是「共起点，指向被减」。平行四边形法则与三角形法则等价，两个向量共起点时用它更直观，对角线就是两者的和。

数量积、夹角、平行与垂直

数量积有几何与坐标两种形式，两者相等是计算的起点：

由它推出夹角公式 cos θ = a·b ÷ (|a||b|)，θ 的范围是 0 到 π。平行与垂直的坐标条件要分清：

数量积还满足交换律、数乘结合律和对加法的分配律，但没有结合律：(a·b)c 与 a(b·c) 一般不相等。常用变形 |a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|²，求模的题几乎都靠它。

算例：a = (3, 4)，b = (2, −1)。a·b = 6 − 4 = 2，|a| = 5，|b| = √5，cos θ = 2/(5√5) ≈ 0.179，θ ≈ 79.7°。a + b = (5, 3)，|a + b|² = 34，用变形公式 25 + 2 × 2 + 5 也是 34。

投影与面积

新教材把 a 在 b 上的投影向量写成下面的形式，结果是一个与 b 共线的向量；a·b ÷ |b| 则是带正负号的投影数量，也就是旧教材说的「投影」：

\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^{2}}\,\boldsymbol{b}

接着上面的算例：投影向量 = (2/5)(2, −1) = (0.8, −0.4)，投影数量 = 2/√5 ≈ 0.894。

以 a、b 为邻边的平行四边形面积等于 |x₁y₂ − x₂y₁|，三角形面积取一半。算例里 |3 × (−1) − 4 × 2| = 11，三角形面积 5.5；用 √(|a|²|b|² − (a·b)²) = √(125 − 4) = 11 验算，结果一致。

空间向量坐标

空间里 a = (x₁, y₁, z₁)，b = (x₂, y₂, z₂)，上面的公式都多一项：a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂，|a| = √(x₁² + y₁² + z₁²)，垂直条件 x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0。平行条件改成「存在 λ 使 a = λb」，不再用交叉相乘。例：a = (1, 2, 2)，b = (2, −1, 2)，a·b = 4，|a| = |b| = 3，cos θ = 4/9。

立体几何求角、求距离，都是把上面的夹角公式套到方向向量与法向量上：

接着上例：若 a 是直线的方向向量、b 是平面的法向量，线面角的正弦就是 4/9。点 P(3, 0, 3) 到过原点 A、法向量 n = (1, 2, 2) 的平面，AP·n = 9，|n| = 3，距离 d = 3。

四处常见差错

1. 平行和垂直的坐标条件记反。 平行是交叉相乘相减，垂直是对应相乘相加。
2. 夹角为钝角只看数量积小于 0。 还要排除反向共线（夹角 π）的情况。
3. 投影向量和投影数量混用。 前者是向量，后者是一个可正可负的数。
4. 把数量积当向量写。 a·b 是数，a·b 的结果不能再写坐标。

在编辑器里，向量可以写成 \vec{a}、\overrightarrow{AB} 或粗体 \boldsymbol{a}，同一份材料统一用一种；点乘用 \cdot。

想检查自己是否真掌握了这组公式，可以另取一对向量，在编辑器里把数量积、夹角余弦、投影向量、面积四行依次写出来，每行后面补一个验算式。

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