三角函数值计算：特殊角与角度弧度换算

三角函数值计算分三步：先把角换成 0° 到 360° 之间的角（弧度制先换成角度），再用诱导公式化成 0° 到 90° 之间的锐角，最后查特殊角的值并按象限定正负。30°、45°、60° 这几个特殊角的值要背熟，其余角大多能化到它们身上。下面给速查表、换算步骤和五道一步一步写的例题。

特殊角三角函数值速查

记法上有个规律：0°、30°、45°、60°、90° 的正弦依次是 √0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2，余弦倒过来排。正切等于正弦除以余弦，90° 时分母为 0，所以没有值。

角度与弧度怎么换算

换算只用一个比例：180° = π 弧度。角度化弧度乘 π/180，弧度化角度乘 180/π。

• 150° 化弧度：150 × π/180 = 5π/6。
• 7π/4 化角度：7π/4 × 180/π = 315°。
• 1 弧度约等于 57.30°，1° 约等于 0.017 45 弧度。

题目给弧度时，先换成角度再判断象限最稳妥。比如 5π/6 = 150°，一看就知道在第二象限。

诱导公式与象限符号

诱导公式的口诀是「奇变偶不变，符号看象限」。把角写成 k × 90° ± α 的形式：k 是奇数时，正弦变余弦、余弦变正弦；k 是偶数时函数名不变。正负号按「把 α 当锐角时，原角所在象限」来定。

各象限的符号记成一句：一全正、二正弦、三正切、四余弦，意思是第一象限三个函数都为正，第二象限只有正弦为正，以此类推。单位圆上横坐标是余弦、纵坐标是正弦，对着图看符号最直观。

五道例题：一步一步化到锐角

例 1：sin 210°。 210° = 180° + 30°，k = 2 是偶数，函数名不变；210° 在第三象限，正弦为负。所以 sin 210° = −sin 30° = −1/2。

例 2：cos 300°。 300° = 360° − 60°，函数名不变；300° 在第四象限，余弦为正。cos 300° = cos 60° = 1/2。

例 3：tan 135°。 135° = 180° − 45°，135° 在第二象限，正切为负。tan 135° = −tan 45° = −1。

例 4：sin 480°。 先减去一整圈：480° − 360° = 120°。120° = 90° + 30°，k = 1 是奇数，正弦变余弦；120° 在第二象限，正弦为正。sin 480° = cos 30° = √3/2。

例 5：cos(−π/3)。 先换成角度：−60°。余弦是偶函数，cos(−60°) = cos 60° = 1/2。

每道题都能拿速查表反查：120° 那一行的正弦是 √3/2，和例 4 的结果一致。

把推导写进作业

本站编辑器只负责把推导排整齐，数值要自己推。度数符号在 LaTeX 里写成 ^\circ，π 打 \pi，输入命令时符号随打随显，按空格结束命令。下面这行就是例 4 的完整推导：

\sin480^\circ=\sin(360^\circ+120^\circ)=\sin120^\circ=\sin(90^\circ+30^\circ)=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}

点代码块下方的「在编辑器中打开」，这行推导就会载入编辑器，把角度改成自己的题目即可；编辑和预览免费且不用登录。几条推导要合进一份 Word 作业时，在文档编辑里逐条插入公式，再从「导出」选「Word 文档 (.docx)」，导出要登录并开通本站会员。编辑器的基本操作见帮助中心。

可以马上做的一件事：从课本习题里挑一个大于 360° 的角，照例 4 的格式写出「减整圈 → 诱导公式 → 查表」三步，写完用速查表反查一次。

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