常用泰勒展开式：eˣ、sin x、ln(1+x)等10个

常用泰勒展开式指的是在 x = 0 处展开的麦克劳林级数，最常用的是 10 个：eˣ、sin x、cos x、ln(1 + x)、1/(1 − x)、1/(1 + x)、(1 + x)ᵅ、arctan x、arcsin x 和 tan x。前三个对全体实数收敛，其余只在 0 附近的一段区间内收敛，端点能不能取要逐个记。下面先给通式和余项，再列十个展开与收敛范围，最后用具体数值核对。

通式与两种余项

函数 f 在 x = 0 处 n 阶可导时，麦克劳林公式把它写成多项式加余项，系数就是各阶导数值除以对应的阶乘：

f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n}(x)

余项有两种写法。佩亚诺余项写成 o(xⁿ)，只说明余项比 xⁿ 高阶，适合求极限；拉格朗日余项用 n + 1 阶导数在某个中间点 ξ 的值来表示（完整写法见下文数值核对一节），能给出误差上界，适合近似计算和证明不等式。

十个展开式与收敛范围

表里的分母已经算成数值：2、6、24、120 依次是 2、3、4、5 的阶乘。

记忆上有三条线索。第一，eˣ 各项系数全为正，sin x 取它的奇次项、cos x 取偶次项，并且符号交替。第二，1/(1 + x) 是公比为 −x 的等比级数，逐项积分得到 ln(1 + x)；把 x 换成 x² 再积分得到 arctan x，所以两者的收敛范围都在 −1 与 1 之间。第三，tan x 和 arcsin x 的三次项系数分别是 1/3 和 1/6，容易和 sin x 的 −1/6 混，写的时候看清符号。

(1 + x)ᵅ 的特例最实用：α = ½ 时 √(1 + x) ≈ 1 + x/2 − x²/8，α = −1 时就回到 1/(1 + x)。

用数值核对展开式

每个展开式都可以代一个小的 x 值验算，下面六组是具体结果：

可以看到，x 越接近 0，截取同样的项数误差越小，这也是计算器之类的程序常先把自变量化到 0 附近再展开的原因；ln(1 + x) 和 arctan x 收敛较慢，同样位数要多取几项。sin 0.5 取两项时近似值 0.4791667，误差约 0.00026，正好小于第一个略去项 0.5⁵/120 ≈ 0.00026，这就是交错级数的误差估计。不是交错级数时，用拉格朗日余项估计误差上界：

四处常见差错

1. ln(1 + x) 用到 x = −1。 那一点对数无定义，级数也发散，收敛区间左端是开的。
2. arcsin x 和 arctan x 的符号搞混。 arctan x 符号交替，arcsin x 各项全为正。
3. 阶乘漏写。 sin x 的五次项是 x⁵/120，不是 x⁵/5。
4. 在收敛区间外代数。 1/(1 − x) 的级数在 x = 2 时发散，不能拿来算 −1。

在编辑器里写展开式时，省略号用 \cdots，阶乘直接打 !，余项的高阶无穷小写 o\left(x^{n}\right)。下面这一行是 sin x 的带余项展开，可以点「在编辑器中打开」载入后接着往下写：

\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+o\left(x^{6}\right)

复习时可以挑表里收敛最慢的 ln(1 + x)，在编辑器里把前五项和余项完整写一遍，再代 x = 0.1 自己算出前三项的近似值。

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