和差问题：（和+差）÷2的线段图与例题
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和差问题知道两个数的和与差，求这两个数：大数 =（和 + 差）÷ 2，小数 =（和 − 差）÷ 2。道理在线段图上最清楚：给小数补上差，两段就一样长，都是大数，合起来是和 + 差；从大数里去掉差，两段也一样长，都是小数，合起来是和 − 差。比如两数和 86、差 4，大数是 (86 + 4) ÷ 2 = 45，小数是 (86 − 4) ÷ 2 = 41。
线段图：公式是怎么来的
判断是不是这类题，看题目给的两个条件：一个是两个数合起来是多少，一个是两个数相差多少。如果给的是「甲是乙的几倍」，那是和倍问题，要按倍数分份，这里的公式就用不上了。差也常藏在「比……多」「比……少」「相差」「大几岁」这些说法里，读题时把它圈出来。
例 1 甲、乙两班共 86 人，甲班比乙班多 4 人，两班各有多少人？
画图时，两条线段左端对齐，甲班那条画得长一些，多出的一截标上「差 4 人」，右边用大括号把两条线段括起来，标「和 86 人」。左端对齐这一步很关键，它让「多出的一截」落在同一侧，一眼能看出差在哪里。接着有两种看法，第 1 种先求出小数，第 2 种先求出大数，做题时任选一种都行：
- 把甲班多出的 4 人去掉，两条线段一样长，都是乙班的人数：86 − 4 = 82，乙班 82 ÷ 2 = 41 人。
- 给乙班补上 4 人，两条线段也一样长，都是甲班的人数：86 + 4 = 90，甲班 90 ÷ 2 = 45 人。
两种看法得到的正是那两条公式。求出一个数后，另一个也可以用和减去它得到：86 − 45 = 41，结果一致就说明没算错。
口诀与公式速查
口诀是：和加差，除以二，得大数；和减差，除以二，得小数。解题时先找出「和」与「差」各是多少，再代入：
找和与差时要留意两种伪装：一是题目给的是周长，和要先除以 2；二是题目说「倒给多少以后相等」，差是倒出量的 2 倍。下面两道例题各对应一种。
例 2、例 3：长方形与倒油
例 2 长方形周长 56 厘米，长比宽多 6 厘米，求长、宽和面积。周长是两条长加两条宽，一条长加一条宽是 56 ÷ 2 = 28 厘米，这才是「和」。长 = (28 + 6) ÷ 2 = 17 厘米，宽 = (28 − 6) ÷ 2 = 11 厘米，面积 17 × 11 = 187 平方厘米。验算：2 × (17 + 11) = 56。
例 3 两桶油共 64 千克，从甲桶倒 5 千克到乙桶后，两桶一样重，原来各有多少千克？甲桶少了 5 千克、乙桶多了 5 千克才相等，说明原来相差 5 × 2 = 10 千克。甲桶 (64 + 10) ÷ 2 = 37 千克，乙桶 (64 − 10) ÷ 2 = 27 千克。验算：37 − 5 = 32，27 + 5 = 32。
常见错误
两种伪装没看出来，就会出下面的错：
| 题目 | 错误做法 | 验算结果 | 正确做法 |
|---|---|---|---|
| 例 2 | 把周长 56 当和：长 31、宽 25 | 周长变成 112 厘米 | 和取 56 ÷ 2 = 28 |
| 例 3 | 把倒出的 5 当差：34.5 与 29.5 | 倒完是 29.5 与 34.5，不相等 | 差取 5 × 2 = 10 |
还有一种是把大数和小数的公式用反，算出「大数」反而比「小数」小。每次算完都比一比，大数一定比小数多一个差。
在编辑器里排解题过程
例 3 这类要多写一步「求差」的题，适合排成三行、等号对齐，讲评时学生一眼能看到差从哪来：
\begin{aligned}\text{差}&=5\times2=10\\\text{甲桶}&=(64+10)\div2=37\\\text{乙桶}&=(64-10)\div2=27\end{aligned}
照这个样子排例 2 时，第一行换成「和 = 56 ÷ 2 = 28」，把周长这层伪装单独写成一步，后两行再求长和宽，错题本上就留下了最容易漏掉的那一步。
延伸阅读
常见问题
- 和差问题可以用方程解吗？
- 可以。设小数为未知数，大数就是这个未知数加上差，两数相加等于和，列出一元一次方程解出小数，再加差得大数。比如两班共86人、甲班多4人，设乙班有若干人，甲班就比它多4人，两班合起来是86人，解得乙班41人、甲班45人。方程法和线段图法结果一样，高年级常用方程，线段图更适合讲清道理。