标准差计算步骤：总体与样本标准差的区别

标准差计算步骤一共六步：求平均数，求每个数与平均数的差，把差平方，把平方加起来，除以个数，最后开平方。总体标准差与样本标准差只在第五步不同：总体除以 N，样本除以 n − 1。数据就是全部研究对象时用总体标准差，用一部分数据去估计整体时用样本标准差，同一组数据算出来样本标准差不会更小，数据少时明显更大。

两个公式与区别速查

\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}

s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}

为什么样本要除以 n − 1？样本平均数是用这 n 个数自己算出来的，n 个离差加起来恒等于 0，真正能自由变动的只有 n − 1 个。直接除以 n 会系统地把总体的波动估小，除以 n − 1 之后，样本方差才是总体方差的无偏估计。

分步手算：五次测验成绩

某同学五次数学测验得分 72、85、78、90、80。先把每一步的中间数排成表，每一列都能单独核对：

1. 求平均数：405 ÷ 5 = 81。
2. 求离差：每个数减 81，这一列加起来必须是 0，不为 0 说明前面算错了。
3. 平方并求和：81 + 16 + 9 + 81 + 1 = 188。
4. 总体：方差 188 ÷ 5 = 37.6，标准差 σ = √37.6 ≈ 6.13。
5. 样本：方差 188 ÷ 4 = 47，标准差 s = √47 ≈ 6.86。

换一种算法核对总体方差：各数平方和 5184 + 7225 + 6084 + 8100 + 6400 = 32993，除以 5 得 6598.6，减去平均数的平方 6561，同样是 37.6。

分母取 N 还是 n − 1：按场景判断

• 题目给了公式：照题目给的写。中学教材统计章节的方差公式分母写的是 n，做中学练习按教材来。
• 描述已知的全体：一个班 45 人的成绩全在手，要说明这个班成绩的波动，用 N。
• 用抽样估计整体：从全年级抽 5 份试卷估计全年级的波动，用 n − 1，大学概率统计课和统计软件默认也是它。

样本很小时两者差得明显：上面 5 个数，6.13 与 6.86 相差约 0.73 分；数据有 500 个时，除以 500 和除以 499 几乎没有差别。

常见错误

• 离差直接相加：第二步那一列的和恒为 0，所以一定要先平方再相加。
• 漏了开方：37.6 是方差，单位是「分的平方」；标准差要开方回到「分」，才能和原数据比较。
• 平均数先取近似：平均数除不尽时先保留足够位数，四舍五入后再求离差会把误差放大。
• 两个分母混用：同一份作业里前面用 n、后面用 n − 1，结论就对不上了。

在编辑器里写这两个公式时，σ 用 \sigma，μ 用 \mu，平均数的横线用 \bar{x}，根号用 \sqrt{}；输入命令后按空格结束，就会变成对应的符号。要把公式做成图片放进课件，可以参考公式图片制作；概率统计大题里期望与方差的算法，可以看高中数学解题方法里的二项分布例题。

可以现在试一次：把自己最近五次测验的分数照上面的表格逐列算出来，再把最后的 σ 与 s 两个式子写进编辑区，看看离差那一列是不是正好加到 0；两行式子排好后把公式工具栏右端的「LaTeX / 可视化」开关切到「LaTeX」模式，能看到每个符号对应的源码，下次照着改数字即可。

延伸阅读

• 高中数学解题方法：二项分布的期望与方差例题
• 数学笔记编辑器：把手算步骤整理成笔记时记什么
• 公式图片制作：把排好的公式放进课件