平方数怎么算：1到20平方表与末位规律

平方数怎么算：一个数的平方就是这个数乘它自己，n² = n × n，比如 13² = 13 × 13 = 169。1 到 20 的平方建议直接背下来；两位数里，个位是 5 的用「十位乘十位加 1，后面接 25」，接近整十的用「凑整法」拆成一个好算的乘法再补一个小数。平方数的个位只可能是 0、1、4、5、6、9，个位是 2、3、7、8 的数一定不是平方数，这条可以用来检查结果。

1 到 20 平方表

背表时按个位分组更好记：个位 1 和 9 的平方个位都是 1（1、81、121、361），个位 2 和 8 的都是 4，个位 3 和 7 的都是 9，个位 4 和 6 的都是 6，个位 5 的是 5，个位 0 的是 0。

11 到 19 这一段还有一个顺口的算法：把数看成 10 加一个一位数 a，平方就是 100 加 20a 再加 a²。比如 17² = 100 + 140 + 49 = 289，16² = 100 + 120 + 36 = 256。孩子背不下后半张表时，用这个办法现算，两三次之后自然就记住了。

(10+a)^2=100+20a+a^2

表里还藏着一个规律：相邻两个平方数的差依次是 3、5、7、9……，也就是连续的奇数。4 − 1 = 3，9 − 4 = 5，16 − 9 = 7。背到一半想不起来，用前一个平方数加上对应的奇数也能推出来，比如 15² = 14² + 29 = 196 + 29 = 225。

平方为什么叫「平方」

n² 读作「n 的平方」，名字来自正方形：边长是 n 的正方形，面积正好是 n × n。给孩子讲时画一个边长 3 格的正方形，数一数里面有 9 个小方格，3² = 9 就有了画面。边长从 3 变成 4，正方形外面多出一圈 7 个小方格，这就是前面说的「相邻平方数相差 3、5、7……」的来历：每次多出的一圈，比上一圈多 2 格。

有了这个图，孩子也就不会把「平方」和「乘 2」弄混：3 × 2 是两排 3 个，只有 6 格；3² 是三排 3 个，一整块正方形。

两种速算方法

个位是 5：十位 × (十位 + 1)，后面接 25。 道理是把两位数写成 10a + 5，展开后前一部分是 100a(a + 1)，后一部分恰好是 25：

(10a+5)^2=100a(a+1)+25

凑整法：先凑成整十相乘，再补上差的平方。 把 n 往上、往下各挪同样的 d，乘积再加 d²：

n^2=(n+d)(n-d)+d^2

选 d 的原则是让 n + d 或 n − d 变成整十数，乘法就只剩一位数乘两位数。d 越小越好，所以个位是 8、9 的往上凑，个位是 1、2 的往下凑：51² 取 d = 1，写成 52 × 50 + 1 = 2601。

两种方法可以连起来用：45² 用个位 5 的速记，4 × 5 = 20，接 25 得 2025；46² 可以看成 45² 再加 45 + 46，也就是 2025 + 91 = 2116。这一步用的就是上面「相邻平方数差是奇数」的推广。

四道例题

例 1 35² 十位 3，3 × 4 = 12，后面接 25，得 1225。验算：35 × 35 = 1225。

例 2 85² 十位 8，8 × 9 = 72，接 25，得 7225。

例 3 19² 取 d = 1：20 × 18 + 1² = 360 + 1 = 361，和平方表一致。

例 4 48² 取 d = 2：50 × 46 + 2² = 2300 + 4 = 2304。个位 4 在「0、1、4、5、6、9」里，初步检查通过。

口算常见错对对照

表里第四行的错最隐蔽：2296 的个位是 6，也在平方数允许的个位里，末位检查拦不住它，只能回到公式看符号。

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