立体几何公式：表面积、体积与空间角
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立体几何公式分三块：表面积靠「展开成平面图形」，柱、锥、台的侧面分别展开成矩形、扇形和扇环，球的表面积单独记 4πR²；体积是柱体 Sh、锥体 Sh/3、台体 h(S + √(SS′) + S′)/3、球 4πR³/3；空间角有异面直线所成角、线面角、二面角三种，用向量法各对应一个公式。下面先给表面积与体积的对照表，再用一个棱长为 2 的正方体把三种空间角各算一遍。
表面积与体积速查
| 几何体 | 侧面积 | 表面积 | 体积 |
|---|---|---|---|
| 圆柱 | 2πrh | 2πr(r + h) | πr²h |
| 圆锥 | πrl（l 为母线） | πr(r + l) | πr²h/3 |
| 圆台 | π(r + R)l | π(r² + R² + rl + Rl) | πh(r² + rR + R²)/3 |
| 球 | — | 4πR² | 4πR³/3 |
| 直棱柱 | ch（c 为底面周长） | ch + 2S | Sh |
| 正棱锥 | ½ch′（h′ 为斜高） | ½ch′ + S | Sh/3 |
| 正棱台 | ½(c + c′)h′ | ½(c + c′)h′ + S + S′ | h(S + √(SS′) + S′)/3 |
侧面积公式里的 l 与 h′ 是斜的长度（母线、斜高），体积公式里的 h 是垂直高度，两者只在圆柱和直棱柱里相等。
算例： 圆锥 r = 3、h = 4，母线 l = √(9 + 16) = 5，侧面积 15π，表面积 24π，体积 12π。圆台 r = 2、R = 5、h = 4，母线 l = √(3² + 4²) = 5，侧面积 35π，表面积 64π，体积 π × 4 × (4 + 10 + 25)/3 = 52π。正四棱锥底边 6、高 4，斜高 √(16 + 9) = 5，侧面积 4 × ½ × 6 × 5 = 60，表面积 96，体积 36 × 4/3 = 48。
三种空间角：范围与向量公式
| 角 | 取值范围 | 向量公式 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 异面直线所成角 | (0°, 90°] | cos θ = |a·b|/(|a||b|) | a、b 为两条直线的方向向量 |
| 线面角 | [0°, 90°] | sin θ = |a·n|/(|a||n|) | n 为平面法向量，算出的是正弦 |
| 二面角 | [0°, 180°] | |cos θ| = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) | 锐角还是钝角看图定 |
法向量求法：在平面里取两个不共线的向量 u、v，设 n = (x, y, z)，解 n·u = 0、n·v = 0，取一组简单的非零解。
例题：棱长为 2 的正方体
以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 分别为 x、y、z 轴，得 A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、C(2, 2, 0)、D(0, 2, 0)、A₁(0, 0, 2)、B₁(2, 0, 2)。
1. 异面直线 A₁B 与 B₁C 所成角。 方向向量 (2, 0, −2) 与 (0, 2, −2)，数量积 4，模都是 2√2：
\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{B_1C}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\,|\overrightarrow{B_1C}|}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}
所以 θ = 60°。几何验算：B₁C 平行于 A₁D，而 A₁B、A₁D、BD 都是面对角线，三角形 A₁BD 是正三角形，角 A₁ 正是 60°。
2. 对角线 A₁C 与底面 ABCD 所成角。 A₁C = (2, 2, −2)，底面法向量取 (0, 0, 1)，sin θ = 2/(2√3) = √3/3，θ ≈ 35.26°。几何验算：A₁A 垂直底面，A₁C 在底面的投影是 AC，tan θ = AA₁/AC = 2/(2√2) = √2/2，换算成正弦同样是 √3/3。
3. 二面角 A₁-BD-A。 平面 A₁BD 里取 BD = (−2, 2, 0)、BA₁ = (−2, 0, 2)，解得法向量 (1, 1, 1)；底面法向量 (0, 0, 1)。余弦的绝对值是 1/√3 = √3/3，图中这个二面角是锐角，θ ≈ 54.74°。几何验算：取 BD 中点 O，AO 与 A₁O 都垂直 BD，tan∠A₁OA = 2/√2 = √2，对应的余弦也是 √3/3。
常见错误
- 线面角套成余弦。 方向向量与法向量的夹角是 90° − θ，所以公式给的是 sin θ；上面第 2 题误用余弦会得到 54.74°，正好是它的余角。
- 异面直线角没取绝对值。 数量积为负时算出钝角，要取它的补角。
- 二面角直接取法向量夹角。 两个法向量可能一个朝里一个朝外，求出的角与二面角相等或互补，最后回到图上判断。
- 侧面积用了垂直高。 圆锥侧面积 πrl 里是母线 5，代成高 4 就少了 3π。
- 圆台表面积漏底面。 π(r + R)l 只是侧面，还要加上下两个圆。
把计算过程写进作业
向量箭头用 \overrightarrow{A_1B}，下标打 _，根号用 \sqrt；命令随打随显，按空格结束。公式大全的「立体几何」分类收了球的体积与表面积、二面角法向量法等公式，可以点「插入」载入后改数字。
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想多练一题，就把第 1 题的 B₁C 换成 C₁D（C₁ 取 (2, 2, 2)）：数量积是 0，所成角 90°；C₁D 平行于 B₁A，而 B₁A 与 A₁B 正是侧面 ABB₁A₁ 的两条对角线，正方形对角线互相垂直。
延伸阅读
- 公式转换字体丢失：立体几何算式转进 Word 后字体异常的排查顺序
- Markdown 公式换行：解题步骤写进 Markdown 时独立公式单独成段
- 本站全部教程：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的文章列表
常见问题
- 空间角怎么求？
- 先认清是哪一种角。异面直线所成角取两条方向向量夹角余弦的绝对值；直线与平面所成角用方向向量和平面法向量，算出来的是正弦；二面角用两个平面的法向量，余弦的绝对值相同，锐角还是钝角要回到图里判断。建系时把原点放在直角顶点，三条棱落在坐标轴上，坐标算起来简单。