二次函数顶点式：一般式配成顶点式的步骤

二次函数顶点式是 y = a(x − h)² + k，顶点坐标就是 (h, k)，对称轴是直线 x = h。由一般式 y = ax² + bx + c 配成顶点式分四步：提出 a，在括号里加上再减去一次项系数一半的平方，把前三项写成完全平方，最后整理常数项。读顶点时注意括号里是「减 h」：y = 2(x + 2)² − 3 的顶点是 (−2, −3)，横坐标要变号。

h、k 的含义与速查

顶点式可以看成把 y = ax² 的图像平移得到：h 管左右，h > 0 向右移、h < 0 向左移；k 管上下，k > 0 向上移、k < 0 向下移。a 不变，所以开口方向和宽窄都不变。k 同时是函数的最值：a > 0 时最小值是 k，a < 0 时最大值是 k。

顶点式、一般式各有用处：一般式一眼能读出与 y 轴的交点 (0, c)，顶点式一眼能读出顶点、对称轴和最值。题目问「顶点」「最大值」「最小值」「图像怎样平移得到」，都应该先化成顶点式再作答。对一般式直接配方，可以得到 h、k 的通用公式，做选择题时用来核对：

一般式配成顶点式的四步

下面以 y = 2x² + 8x + 5 为例，每一步都写出来：

1. 提 a：只对含 x 的两项提出二次项系数，y = 2(x² + 4x) + 5，常数项 5 留在括号外。
2. 加减：括号里一次项系数是 4，一半的平方是 (4 ÷ 2)² = 4，加上再减去，y = 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5。
3. 配平方：前三项写成 (x + 2)²；把 −4 移出括号时要乘上 a，变成 −8，y = 2(x + 2)² − 8 + 5。
4. 整理：y = 2(x + 2)² − 3，顶点 (−2, −3)，对称轴 x = −2。

四步里最容易出错的是第 3 步：括号里减去的那个数搬到括号外面时，要乘上前面的系数 a。例题里是 −4 × 2 = −8，写成 −4 就会得到错误的 y = 2(x + 2)² + 1。配完后可以把顶点式重新展开，看是否回到原来的一般式，这一步检查很稳妥。

整条推导可以复制进编辑器改成自己的题：

\begin{aligned}y&=2x^2+8x+5\\&=2(x^2+4x+4-4)+5\\&=2(x+2)^2-8+5\\&=2(x+2)^2-3\end{aligned}

三道例题

例 1 把 y = x² − 6x + 7 化成顶点式。a = 1，第 1 步可省；一次项系数 −6，一半的平方是 9，y = x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2。顶点 (3, −2)，最小值 −2。检验：x = 3 代入原式，9 − 18 + 7 = −2。

例 2 把 y = 2x² + 8x + 5 化成顶点式。按上一节四步得 y = 2(x + 2)² − 3，顶点 (−2, −3)。检验：x = −2 代入原式，8 − 16 + 5 = −3；用公式 h = −8 ÷ (2 × 2) = −2 也对得上。

例 3 把 y = −3x² + 6x + 1 化成顶点式。提出 −3 时括号里的符号要跟着变：y = −3(x² − 2x) + 1；加减 1 得 y = −3(x² − 2x + 1 − 1) + 1；−1 移出括号要乘 −3，变成 +3，所以 y = −3(x − 1)² + 3 + 1 = −3(x − 1)² + 4。顶点 (1, 4)，a < 0，最大值是 4。检验：k = (4 × (−3) × 1 − 6²) ÷ (4 × (−3)) = (−12 − 36) ÷ (−12) = 4。

h 符号写反的错对对照

最常见的错是看到 (x + 2) 就把顶点横坐标写成 2。顶点式规定括号里是 x − h，所以 x + 2 要读成 x − (−2)，h = −2。

检验方法只有一句：顶点的横坐标要让括号里等于 0。拿错误答案 (2, −3) 代进第一行，x = 2 时 y = 2 × 16 − 3 = 29，根本取不到 −3，马上能发现写反了。

例 3 这种 a 为负数的题，顶点就是最高点：化完先看 a 的正负，再决定答最大值还是最小值。

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