二次函数图像：五点法画抛物线的步骤

二次函数图像是一条抛物线，用五点法就能画出准确的草图：先求顶点和对称轴，再求与 y 轴的交点和它关于对称轴的对称点，最后求与 x 轴的两个交点。与 x 轴没有交点时，改取对称轴两侧距离相等的一对点。五个点里顶点定位置，a 的正负定开口方向，其余四个点两两对称，决定抛物线张开多宽。

五点法的五个步骤

以 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）为例，按下面的顺序算，每一步都能用上一步的结果检查。

1. 定开口：a > 0 开口向上，顶点是最低点；a < 0 开口向下，顶点是最高点。
2. 求对称轴和顶点：对称轴是直线 x = −b/(2a)，把这个 x 代回原式，得到顶点的纵坐标。
3. 求与 y 轴的交点 (0, c)，再找它关于对称轴的对称点，横坐标是 −b/a。
4. 求与 x 轴的交点：解方程 ax² + bx + c = 0。判别式小于 0 时没有交点，就在对称轴左右各取一个等距的点。
5. 描出五个点，用平滑的曲线连起来。顶点处要画成圆弧，两端向外延伸，别连成折线或尖角。

描点前先定坐标轴的单位长度。五个点的横坐标通常是相邻整数，纵坐标却可能相差很大，纵轴每格代表的数可以和横轴不同，但同一条轴上每格必须相等。画在方格本上时，先把顶点放在纸面中间偏下（开口向上）或偏上（开口向下）的位置，两边才留得出伸展的空间。

对称轴公式和顶点坐标可以直接复制进编辑器：

x=-\frac{b}{2a},\qquad \left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)

例 1：y = x² − 2x − 3（与 x 轴有两个交点）

a = 1 > 0，开口向上。对称轴 x = −(−2)/(2×1) = 1，代入得 y = 1 − 2 − 3 = −4，顶点 (1, −4)。与 y 轴交于 (0, −3)，它关于 x = 1 的对称点是 (2, −3)。解 x² − 2x − 3 = 0，因式分解得 (x + 1)(x − 3) = 0，与 x 轴交于 (−1, 0) 和 (3, 0)。

五个点的纵坐标左右对称，0、−3、−4、−3、0，正好说明对称轴算对了。图像描述：抛物线开口向上，从左上方下降，经过 (−1, 0) 穿过 x 轴，在最低点 (1, −4) 转弯后上升，再经过 (3, 0) 穿出，左右两半关于直线 x = 1 对称。

例 2：y = −x² + 4x − 5（与 x 轴没有交点）

a = −1 < 0，开口向下。对称轴 x = −4/(2×(−1)) = 2，代入得 y = −4 + 8 − 5 = −1，顶点 (2, −1)。与 y 轴交于 (0, −5)，对称点 (4, −5)。判别式 Δ = 16 − 20 = −4 < 0，与 x 轴没有交点，所以在对称轴两侧各取 x = 1 和 x = 3，算得 y 都是 −2。

五个点是 (0, −5)、(1, −2)、(2, −1)、(3, −2)、(4, −5)。图像描述：抛物线开口向下，最高点是顶点 (2, −1)，整条曲线都在 x 轴下方；对称轴左边那一支从第三象限升进第四象限，右边那一支留在第四象限，两端一直向下延伸。

开口方向判断的错对对照

开口只看二次项系数 a 的正负，和式子的书写顺序、常数项、一次项都无关。两个典型的错：

• y = 3 − 2x²：看到开头的 3 是正数就判「开口向上」。二次项系数是 −2，开口向下，顶点 (0, 3) 是最高点。
• y = (1 − x)(x + 3)：两个括号看上去都「正」，判成开口向上。展开得 y = −x² − 2x + 3，a = −1，开口向下；与 x 轴交于 (1, 0)、(−3, 0)，顶点 (−1, 4)。

拿不准时有个快速检验：代一个离顶点很远的 x。例如 x = 10 时，(1 − 10)(10 + 3) = −117，远处的函数值是很大的负数，开口必然向下。

例 2 与 x 轴没有交点，草图靠顶点和一对对称点就能定形；有没有交点，看判别式比试着解方程快。

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