一元二次方程求根：判别式与求根公式4步

一元二次方程求根的标准流程是4步：先把方程整理成 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的一般形式并写出 a、b、c，再算判别式 Δ = b² − 4ac 判断根的情况，然后代入求根公式或用配方法求解，最后把根代回原方程验证。Δ > 0 时有两个不相等的实数根，Δ = 0 时有两个相等的实数根，Δ < 0 时无实数根。下面按这 4 步写一道完整例题，再补上配方法和另外两种判别式情况。

这套方法对应人教版九年级上册「一元二次方程」一章，公式写法与课本一致。

判别式与方法速查表

选方法的顺序可以固定下来：先看能不能直接开平方，再看能不能一眼因式分解，都不行就配方或用公式。公式法对任何一元二次方程都管用，只是计算量最大，所以放在最后兜底。

求根公式是公式法的核心，注意 2a 是整个分子的分母，判别式整体写在根号里：

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad(b^2-4ac\geq0)

4步求根：一道完整例题

以 2x² − 3x − 2 = 0 为例。

第一步，写出系数。 方程已是一般形式，a = 2，b = −3，c = −2。系数连同正负号一起抄，这一步抄错，后面全错。

第二步，算判别式。 Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25，大于 0，有两个不相等的实数根。

第三步，代入公式。 注意 −b = 3，分母 2a = 4：

x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{3\pm5}{4},\quad x_1=2,\ x_2=-\frac{1}{2}

x₂ = −2/4 要约成 −1/2，约分方法见分数通分约分。

第四步，代回验根。 把 x = 2 代入：2 × 4 − 6 − 2 = 0；把 x = −1/2 代入：2 × 1/4 + 3/2 − 2 = 0。两根都满足原方程。也可以用根与系数的关系核对：x₁ + x₂ = 3/2 = −b/a，x₁x₂ = −1 = c/a，两条都对上。

配方法与另外两种判别式情况

配方法。 解 x² + 6x − 7 = 0。常数项移到右边得 x² + 6x = 7，两边同加 3² = 9：

x^2+6x+9=16,\quad (x+3)^2=16,\quad x+3=\pm4

所以 x₁ = 1，x₂ = −7。代回检查：1 + 6 − 7 = 0，49 − 42 − 7 = 0。求根公式本身就是对一般式配方推出来的，两种方法得到的结果一定相同。

因式分解法。 速查表第一行的 x² − 5x + 6 = 0，找两个积为 6、和为 −5 的数，即 −2 和 −3，得 (x − 2)(x − 3) = 0，所以 x₁ = 2，x₂ = 3。能一眼看出分解时，这比套公式快；看不出来就别硬凑，直接回到公式法。

Δ = 0 的情况。 x² − 4x + 4 = 0 中 Δ = 16 − 16 = 0，方程可写成 (x − 2)² = 0，得 x₁ = x₂ = 2。答题时要写成两个相等的根，而不是只写一个 x = 2。

Δ < 0 的情况。 x² + 2x + 5 = 0 中 Δ = 4 − 20 = −16，负数在实数范围内不能开平方，直接写「原方程无实数根」。

求根公式从哪来：对一般式配方

公式记混时，用四行配方就能自己推回来。第一行，两边同除以 a，把常数项移到右边；第二行，两边同加一次项系数一半的平方，即 (b/2a)²，左边配成完全平方；第三行，右边通分后分子恰好是判别式，Δ ≥ 0 时两边开平方；第四行，移项得到求根公式（见下图）。

第三行开平方时，右边分母 √(4a²) 其实是 2∣a∣，但前面已经有 ±，a 的正负号被 ± 吸收，所以直接写 2a。这也说明 Δ 为什么决定根的个数：它正是第二行右边分子的符号。

常见错误

第一行那个方程的正确解法：Δ = 9 + 16 = 25，x = (3 ± 5)/2，得 x₁ = 4，x₂ = −1，代回 4 × 1 = 4、(−1) × (−4) = 4，都成立。

同类计算题的手算顺序见常用数学计算方法。

算完一道题，可以在本站做一件具体的事：把 2x² − 3x − 2 = 0 的四步（写系数、算 Δ、代公式、验根）在公式编辑器里每步一行录进去，按 Enter 换行、输入 / 出分数线，预览里根号和 ± 的位置与课本一致后再誊进作业。老师出讲义时，还可以把上面四行配方推导照样录一遍，切到文档编辑插进讲义正文。

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