比例式求未知项：交叉相乘与按比分配

比例式求未知项的依据只有一条：两个内项的积等于两个外项的积。遇到 a∶b = c∶x，先写成 a·x = b·c，再两边同除以 a，得 x = bc ÷ a；写成分数形式时，这一步就是常说的交叉相乘。按比分配则先求总份数，再用「总量 × 某部分份数 ÷ 总份数」，下面各给能验算的例题。

四种写法与交叉相乘速查

比例 a∶b = c∶d 里，两端的 a、d 叫外项，中间的 b、c 叫内项。未知项落在哪个位置，交叉相乘后的等式都长一个样：一边是未知项乘一个已知数，另一边是两个已知数相乘。

分数形式的记法是「对角相乘」：左上乘右下，左下乘右上。第一道例题写成一行是这样：

\frac{3}{8}=\frac{x}{20}\;\Rightarrow\;8x=3\times20\;\Rightarrow\;x=7.5

三道手算例题

整数比。 3∶8 = x∶20。内项积 8·x，外项积 3 × 20 = 60，所以 8x = 60，x = 7.5。验算：3 ÷ 8 = 0.375，7.5 ÷ 20 = 0.375，两个比值相等。

含小数。 0.6∶x = 1.5∶5。内项积 1.5x，外项积 0.6 × 5 = 3，所以 x = 3 ÷ 1.5 = 2。验算：0.6 ÷ 2 = 0.3，1.5 ÷ 5 = 0.3。小数多的题，可以先把两个比都乘 10 化成整数比再算，6∶10x = 15∶50 解出来同样是 2。

比例尺。 地图比例尺 1∶50000，图上两地相距 3.2 厘米，实际距离 x 厘米：1∶50000 = 3.2∶x，得 x = 3.2 × 50000 = 160000 厘米。换算单位，1 千米 = 100000 厘米，实际距离是 1.6 千米。

按比分配：先求总份数

学校把 360 张彩纸按 2∶3∶4 分给三、四、五年级。总份数 2 + 3 + 4 = 9，每份 360 ÷ 9 = 40 张，三个年级分别得 80、120、160 张。验算两处：80 + 120 + 160 = 360，80∶120∶160 化简后仍是 2∶3∶4。

\text{某一部分}=\text{总量}\times\frac{\text{该部分的份数}}{\text{总份数}}

题目给的是两个比时，要先统一中间那一项。甲∶乙 = 2∶3，乙∶丙 = 4∶5，乙分别是 3 份和 4 份，取最小公倍数 12，改写成 8∶12 与 12∶15，连比就是 8∶12∶15。若三人共分 700 本练习册，总份数 35，每份 20，分别得 160、240、300 本。

按比分配反过来看，就是给每一部分配了一个权重；成绩按「平时 3、期末 7」折算，用的正是这一思路，也就是加权平均。

四个常见错误

1. 乘错对角。内项与内项相乘、外项与外项相乘，写成分数后是对角相乘，上下相乘就错了。
2. 单位混用。比例尺题里图上用厘米、实际用千米，要先统一单位再列比例。
3. 除错份数。按比分配时，总量要先除以总份数，直接除以某一项的份数是最常见的失分点。
4. 连比漏统一。两个比的中间项份数不同，直接拼成 2∶3∶5 会得出错误答案。

在公式编辑器里写比例式时，比号直接输入英文冒号 :，预览时两侧会自动留出关系符号的间距；推出号用 \Rightarrow，分数用 / 键。和倍、差倍这类按份数列式的题，可以接着看小学数学应用题里的数量关系表。

接下来可以做一件事：把彩纸那道题的「总份数—每份—各部分」三步各写成一行，行末用「验算」再写一行加法，放进编辑区对照检查；三年级那一行可以先写成分数形式，看看和逐步算出的 80 是否一致。

延伸阅读

• 小学数学应用题：和倍、差倍等 12 类题的列式方法
• 数学笔记编辑器：把手算例题整理成笔记时记什么
• 公式与教程索引：更多按知识点整理的手算教程