物理竞赛公式速查：常用高阶公式清单

物理竞赛公式比高考多出两大块：力学里的刚体转动、角动量、万有引力势能与变质量运动，电磁学里的高斯定理、毕奥－萨伐尔定律、安培环路定理和电磁感应的变化率形式。下面按力学、电磁学两张清单列出常用公式与适用条件，再用 3 个推导示例说明它们怎样接到题目里。表格里的矢量用普通字母，代码块和配图里的矢量加箭头，备课时可以直接照抄。

力学：转动、引力与变质量

这几条里，平行轴定理和转动定律出现得最频繁；引力势能的负号来自零点取在无穷远，和高考里「取地面为零」的重力势能不是一回事。转动惯量有四个常用结果值得记住：均匀细杆绕中点 mL²/12，均匀圆环绕中心轴 mR²，均匀圆盘绕中心轴 mR²/2，均匀实心球绕直径 2mR²/5；其余情形多半用平行轴定理从这四个结果推出来。

电磁学：场的积分形式与感应

高斯定理与安培环路定理要配合对称性才好用：球对称、柱对称、无限大平面这三类，选好高斯面或安培回路，积分就退化成乘法。

三个推导示例

示例 1 均匀细杆绕端点转动。 质量 m、长 L 的均匀细杆，绕过质心且垂直于杆的轴，I_C = mL²/12。转轴移到端点，两轴距离 d = L/2，由平行轴定理：

I=\frac{1}{12}mL^2+m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{3}mL^2

接着用到题目里：杆从水平位置由静止释放，绕端点转到竖直位置，质心下降 L/2。由机械能守恒 mg · L/2 = ½ · (mL²/3) · ω²，得 ω = √(3g/L)。

示例 2 均匀带电球体内部的场强。 电荷 Q 均匀分布在半径 R 的球体内。取半径 r < R 的同心球面为高斯面，面内电荷是 Q·r³/R³。由高斯定理 E · 4πr² = Qr³/(ε₀R³)，得 E = Qr/(4πε₀R³)，在球内与 r 成正比；r = R 时回到 Q/(4πε₀R²)，与球外公式在表面衔接。

示例 3 火箭的速度增量。 喷气相对火箭的速度 u = 2.0 km/s，燃料烧完时质量比 m₀/m = e²（约 7.39）。不计重力与空气阻力，Δv = u ln(m₀/m) = 2.0 × 2 = 4.0 km/s。质量比翻倍，速度增量只加 u ln 2，约 1.4 km/s，这就是多级火箭要逐级抛掉空壳的原因。

录公式时的写法

竞赛讲义里矢量多、积分多，在编辑器里这样写：矢量箭头用 \vec{E}，闭合曲面积分用 \oint，叉乘用 \times，ε₀ 写成 \varepsilon_0，μ₀ 写成 \mu_0；输入命令后按空格结束。高斯定理完整写出来是：

\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q}{\varepsilon_0}

两张清单各挑一条自己最常用错的公式，把适用条件也排进同一行，比如高斯定理后面补一句「闭合曲面」，复习时看公式的同时就看到了条件。

延伸阅读

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