排列组合公式：A与C的算法和示例

排列组合公式只有两条：排列数 Aₙᵐ 等于 n 的阶乘除以 (n − m) 的阶乘，表示从 n 个不同元素里取 m 个并排成一列的方法数；组合数 Cₙᵐ 是在排列数的基础上再除以 m 的阶乘，表示只取出、不排顺序的方法数。两者的关系是 Aₙᵐ 等于 Cₙᵐ 乘以 m 的阶乘，也就是「先选，再排」。判断用哪一条只看一件事：把取出的元素换个顺序，算不算另一种结果。

公式与阶乘展开速查

A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)

C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!\,(n-m)!}

手算时不必把阶乘全部写出来：A 就是从 n 开始往下连乘 m 个数，C 再除以 m 的阶乘。下表每一行都可以用这个方法复核。

组合数有两条常用性质：Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ，所以 C₈⁶ 可以改算 C₈²；Cₙ₊₁ᵐ = Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹，比如 C₇³ = 35，正好等于 C₆³ + C₆² = 20 + 15。

典型题手算：四种常用方法

相邻用捆绑。 7 人站成一排，甲乙必须相邻。把甲乙捆成一个整体，和其余 5 人共 6 个元素全排列，A₆⁶ = 720；甲乙内部还能换位，A₂² = 2，共 720 × 2 = 1440 种。

不相邻用插空。 同样 7 人，甲乙不相邻。先排其余 5 人，A₅⁵ = 120，5 人之间和两端共 6 个空；甲乙插进其中 2 个空，A₆² = 30，共 120 × 30 = 3600 种。验算：1440 + 3600 = 5040 = A₇⁷，相邻与不相邻正好凑成全部。

「至少」用间接法。 5 名男生、4 名女生中选 3 人，至少 1 名女生。总数 C₉³ = 84，减去全是男生的 C₅³ = 10，得 74 种。直接分类也能核对：1 女 2 男 4 × 10 = 40，2 女 1 男 6 × 5 = 30，3 女 4，合计 74。

分给具体的人。 6 本不同的书平均分给甲、乙、丙，每人 2 本：C₆² × C₄² × C₂² = 15 × 6 × 1 = 90 种。如果只分成三堆、不指定给谁，三堆之间没有顺序，要再除以 A₃³ = 6，得 15 种。

排列还是组合：用「交换一下」来判断

• 有顺序 → 排列：站队、排座位、用数字组成三位数、从 5 人中选正副班长（A₅² = 20）。
• 无顺序 → 组合：选代表、握手、组成小组、从 5 人中选 2 名代表（C₅² = 10）。

同样是「5 人选 2 人」，正副班长 20 种是 2 名代表 10 种的 2 倍，多出的正是两人互换职务的 A₂² = 2。概率题里分子分母多半都用组合数：上面随机选 3 人，至少 1 名女生的概率是 74 ÷ 84 = 37/42，约 88.1%。

常见错误

• 先选一个再任选，重复计数：「至少 1 女」写成 C₄¹ × C₈² = 4 × 28 = 112，比正确的 74 多，是因为选了 2 名女生的情况被数了两次、3 名女生的被数了三次（多出 30 + 8 = 38）。
• 插空数错空位：5 人排好后有 6 个空，不是 4 个也不是 5 个。
• 平均分堆忘除：不指定给谁时要除以堆数的全排列。
• 忘了 0 的阶乘等于 1：C₅⁵ 按公式代入，分母里会出现 0 的阶乘，规定它等于 1，结果才是 1。

在编辑器里写排列数，直接输入 A_n^m，组合数写成 C_n^m，大学教材常见的另一种记法用 \binom{n}{m}；阶乘就是数字后面跟一个感叹号字符，不需要特殊命令。出排列组合练习卷时，公式字号与编号的注意事项可以看试卷公式。

可以用今天这四种方法各出一道同类题：把题目和「捆绑、插空、间接、分组」的算式各写一行放进编辑区，每行后面补上验算，排成一张自己的方法卡。

延伸阅读

• 高中数学解题方法：古典概型与二项分布的例题
• 试卷公式：出练习卷时的公式排版要点
• 公式与教程索引：更多按知识点整理的手算教程
• 二项式定理求常数项：令通项中x的指数为0