对数运算法则：积、商、幂与换底公式

对数运算法则共四条：积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于指数乘对数，再加一条把底数换掉的换底公式。前三条都来自指数运算法则，换底公式来自对数的定义。本文不做近似值手算，重点讲每条法则为什么成立、什么条件下能用，以及由换底公式推出的四个常用结论，例题全部化简到精确值。

四条法则与成立条件

以下 a > 0 且 a ≠ 1，M > 0，N > 0，四条的完整写法见下方公式表。

前三条的证明思路相同。以积的对数为例：设 logₐM = p，logₐN = q，则 M = aᵖ，N = a^q，于是 MN = a^(p+q)，按定义 logₐ(MN) = p + q。换句话说，指数的「同底相乘、指数相加」翻译成对数，就成了「积的对数等于对数的和」。

商与幂的证明完全类似：M/N = a^(p−q)，Mⁿ = a^(np)，再按定义读出对数即可。四条法则里的前提条件一个都不能省：真数 M、N 都要大于 0，底数 a 大于 0 且不等于 1，否则左右两边可能一边有意义、一边没有意义。

换底公式的证明：设 logₐb = x，即 aˣ = b，两边取以 c 为底的对数得 x·log_c a = log_c b，移项即得。实际使用时 c 通常取 10 或 e，把陌生的底数换成常用对数或自然对数，下面四个结论也都是它换出来的。

积、商、幂三条的 LaTeX 写法：

\begin{gathered}\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\\
\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\\
\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\end{gathered}

换底公式的 LaTeX 写法：

\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\quad(c>0,\ c\neq1)

换底公式推出的四个结论

第三条用得最多。例：log₈9 · log₂₇32 = (2/3)log₂3 · (5/3)log₃2 = 10/9，两次换成以 2、3 为底，再用倒数关系抵掉。

化简例题：全部化到精确值

例 1　lg25 + lg4 = lg100 = 2。积的对数反着用，先合并再求值。

例 2　2log₅10 + log₅0.25 = log₅(10² × 0.25) = log₅25 = 2。先用幂的法则把系数 2 移进真数，再合并。

例 3　log₃√27 = log₃3^(3/2) = 3/2。根式先写成分数指数。

例 4　(lg2)² + lg2 · lg50 + lg25。前两项提出 lg2，得 lg2(lg2 + lg50) = lg2 · lg100 = 2lg2；lg25 = 2lg5；合起来 2(lg2 + lg5) = 2。

四道题的共同套路是「先合并、再求值」：能凑成 10 的幂或底数的幂，就直接得到整数或分数。每道题都可以反过来验算：例 3 的 3 的 3/2 次方正好是 √27，例 2 的 5 的平方是 25。

四处常见差错

1. 和的对数拆开。 logₐ(M + N) 没有拆法，只有积才能拆成和。
2. 对数之比当成商的对数。 logₐM ÷ logₐN 按换底公式等于以 N 为底 M 的对数，不等于 logₐ(M/N)。
3. 对数的乘方和真数的乘方混淆。 (lg x)² 不能写成 2lg x，只有 lg x² 才能这样变。
4. 变形时丢了定义域。 lg x² = 2lg|x|，x 可以取负；直接写成 2lg x 会把负数解漏掉。例：方程 lg x² = 2 的解是 x = ±10，不只是 10。

在编辑器里写对数，底数用下标 \log_{a}，常用对数与自然对数直接打 \lg、\ln，命令随打随显，按空格结束。

练习时可以把例 4 当模板：在编辑器里一行一步写下提公因式、合并、代入 lg100 = 2 的过程，每一步右边标上用了哪条法则。

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