考研数学公式：高数、线代、概率三科速查
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考研数学公式按高等数学、线性代数、概率论与数理统计三科整理，本文从三科里挑出高频公式共 36 条。数学一考三科，数学三也考三科但高数部分范围小一些，数学二只考高数和线代，不考概率统计。下面每科给公式清单、记忆要点和一道能代回验算的例子，复习时按自己的卷种取用，考前一个月可以只看各节的记忆要点。
高等数学：极限、导数与积分
等价无穷小（x → 0） 是做极限题的第一工具，求极限的选择题和计算题几乎都会用到它：
| 等价关系 | 等价关系 |
|---|---|
| sin x ~ x | 1 − cos x ~ x²/2 |
| tan x ~ x | eˣ − 1 ~ x |
| arcsin x ~ x | ln(1 + x) ~ x |
| arctan x ~ x | (1 + x)ᵃ − 1 ~ ax |
记忆要点：左列四个都是「三角或反三角 ~ x」，右列四个各有特征，只有 1 − cos x 是二阶。只能在乘除因子里替换，加减中直接替换容易出错。
例：x → 0 时，(eˣ − 1)·sin x ÷ (1 − cos x) 替换后为 x·x ÷ (x²/2) = 2；取 x = 0.0001 代入原式，数值约 2.0001。
其余高频公式：两个重要极限；拉格朗日中值定理 f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)；分部积分 ∫u dv = uv − ∫v du；牛顿-莱布尼茨公式；一阶线性微分方程的通解；二重积分换极坐标时 dx dy = r dr dθ（多出的 r 是面积元的伸缩）。
线性代数：行列式、逆矩阵与特征值
| 公式 | 记忆要点 |
|---|---|
| |kA| = kⁿ|A|（A 为 n 阶） | k 要乘 n 次，不是一次 |
| |AB| = |A|·|B| | 行列式可以拆，矩阵乘法不能交换 |
| A⁻¹ = A* ÷ |A| | 伴随矩阵 A* 的元素是代数余子式的转置排列 |
| (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ | 逆和转置都要「倒序」 |
| λ₁ + λ₂ + … + λₙ = tr A | 特征值之和等于主对角线之和 |
| λ₁λ₂…λₙ = |A| | 特征值之积等于行列式 |
| Ax = b 有解 ⇔ r(A) = r(A, b) | 再看秩：等于 n 时只有一组解，小于 n 时有无穷多解 |
例：A 的第一行为 2、1，第二行为 1、2。特征值为 1 和 3，和 4 等于主对角线之和 2 + 2，积 3 等于行列式 4 − 1，两条性质都对得上。
概率论与数理统计：分布与数字特征
数学二的考生可以跳过本节。
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| 二项分布 B(n, p) | np | np(1 − p) |
| 泊松分布 P(λ) | λ | λ |
| 均匀分布 U(a, b) | (a + b)/2 | (b − a)²/12 |
| 指数分布 E(λ) | 1/λ | 1/λ² |
| 正态分布 N(μ, σ²) | μ | σ² |
另外四条：D(X) = E(X²) − [E(X)]²；Cov(X, Y) = E(XY) − E(X)E(Y)；D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X, Y)；相关系数 ρ = Cov(X, Y) ÷ √(D(X)D(Y))。
记忆要点：泊松分布期望方差相等；指数分布的方差是期望的平方；均匀分布方差分母 12 可以用积分现推。例：X ~ U(0, 6)，E(X) = 3，D(X) = 36/12 = 3，用 E(X²) = 12 验算，12 − 9 = 3。
四处常见差错
- 在加减里用等价无穷小。 tan x − sin x 不能替换成 x − x = 0，正确结果是 x³/2 阶。
- 行列式数乘只乘一次。 3 阶矩阵 |2A| = 8|A|。
- 逆矩阵不倒序。 (AB)⁻¹ 写成 A⁻¹B⁻¹。
- 方差的线性性质漏平方。 D(2X) = 4D(X)。
编辑器里写矩阵用 \begin{pmatrix} … \end{pmatrix}，行列式换成 vmatrix；符号面板「矩阵」页签也有现成模板。
复习线代时可以把上面那个二阶矩阵换成自己的例子，在编辑器里写出矩阵、特征方程和两个特征值，再逐条对照迹与行列式验算。
延伸阅读
常见问题
- 考研公式要全部背吗？
- 不用全部硬背。等价无穷小、基本积分表、常见分布的期望方差要熟到不假思索；中值定理、分部积分、特征值性质要理解推导，考场上能现推；少数只在某一类题出现的公式，做到那类题时再记。先确认自己考数学一、二还是三，数学二不考概率统计，不必花时间在那一科上。