积分表要背吗？

前 13 条要背熟，它们就是基本初等函数导数表倒过来，考试和作业里几乎每道题都会用。第 14 到 22 条也建议记住，记不牢时可以现场推：第 14、15 条用凑微分，第 18、19 条分别靠凑微分和拆分式，第 20 到 22 条可用三角代换推；第 16、17 条要先同乘一个因式再凑微分，记结论更省事。双曲函数两条用得少，知道即可。背完每天挑一条，对右边求导，看能否还原成左边的被积函数。

积分公式表：24个基本积分公式速查

更新于 2026-10-22

积分公式表最常用的是下面这 24 条基本不定积分：前 13 条由基本初等函数的导数表倒推而来，第 14–22 条是三角函数与含参数 a 的有理式、根式积分，最后两条是双曲函数。实际做题时先用换元法把被积函数变成表中的某一条，再套公式。本文给全表、三类常见换元的识别方法，以及三道例题。

24 个基本积分公式

表中的 a > 0，C 是任意常数；对数里带绝对值，是为了 x 取负值时公式也成立。

序号	积分	结果
1	∫k dx	kx + C
2	∫xᵘ dx（u ≠ −1）	xᵘ⁺¹/(u + 1) + C
3	∫(1/x) dx	ln\|x\| + C
4	∫1/(1 + x²) dx	arctan x + C
5	∫1/√(1 − x²) dx	arcsin x + C
6	∫cos x dx	sin x + C
7	∫sin x dx	−cos x + C
8	∫sec²x dx	tan x + C
9	∫csc²x dx	−cot x + C
10	∫sec x tan x dx	sec x + C
11	∫csc x cot x dx	−csc x + C
12	∫eˣ dx	eˣ + C
13	∫aˣ dx（a ≠ 1）	aˣ/ln a + C
14	∫tan x dx	−ln\|cos x\| + C
15	∫cot x dx	ln\|sin x\| + C
16	∫sec x dx	ln\|sec x + tan x\| + C
17	∫csc x dx	ln\|csc x − cot x\| + C
18	∫1/(a² + x²) dx	(1/a) arctan(x/a) + C
19	∫1/(x² − a²) dx	(1/2a) ln\|(x − a)/(x + a)\| + C
20	∫1/√(a² − x²) dx	arcsin(x/a) + C
21	∫1/√(x² + a²) dx	ln(x + √(x² + a²)) + C
22	∫1/√(x² − a²) dx	ln\|x + √(x² − a²)\| + C
23	∫sh x dx	ch x + C
24	∫ch x dx	sh x + C

表中任意一条都可以自己验算：对右边的结果求导，能回到左边的被积函数就对了；手算不方便时，取两个 x 值求数值导数，与被积函数比一比。

二十四个基本不定积分公式一页纸速查表

三类常见换元怎么认

表里的公式只认标准形状，被积函数长得不一样时，先按下表判断用哪种换元：

被积函数的特征	换元	化成表中第几条
f(ax + b)	令 u = ax + b，dx = du/a	按 f 的类型
x·f(x²)	凑 x dx = ½ d(x²)	按 f 的类型
f(ln x)/x	凑 dx/x = d(ln x)	按 f 的类型
f(eˣ)·eˣ	凑 eˣ dx = d(eˣ)	按 f 的类型
含 √(a² − x²)	x = a sin t	降幂后用第 1、6 条
含 √(x² + a²)	x = a tan t	第 16 条
含 √(x² − a²)	x = a sec t	第 16 条
二次式 x² + px + q	配方	第 18、19 条

前四行叫第一类换元（凑微分），后四行里的三角代换属于第二类换元，配方之后再用第一类换元。

三道例题

例 1　配方后套第 18 条。 x² + 4x + 13 = (x + 2)² + 3²，令 u = x + 2，a = 3：

\int\frac{dx}{x^{2}+4x+13}=\int\frac{d(x+2)}{(x+2)^{2}+3^{2}}=\frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3}+C

在编辑器中打开

配方后套用反正切公式求积分

验算：对结果求导，(1/3) × [1/(1 + ((x + 2)/3)²)] × (1/3) = 1/[9 + (x + 2)²] = 1/(x² + 4x + 13)，与被积函数一致。

例 2　凑微分后套第 12 条。 ∫x·e^(x²) dx：x dx = ½ d(x²)，得 ½e^(x²) + C。求导验算：½ · e^(x²) · 2x = x·e^(x²)。

例 3　凑微分后套第 3 条。 ∫dx/(x ln x)：dx/x = d(ln x)，化成 ∫d(ln x)/ln x，结果 ln|ln x| + C。

常见错误

第 2 条漏了 u ≠ −1。 u = −1 时要改用第 3 条，写成 x⁰/0 是没有意义的。
对数里丢绝对值。 ∫dx/x 写成 ln x + C 只在 x > 0 时成立。
第 18 条漏掉 1/a。 ∫dx/(9 + x²) 是 (1/3)arctan(x/3) + C，少了前面的 1/3，求导就对不上。
凑微分忘了配系数。 ∫sin(3x + 1) dx 的结果是 −(1/3)cos(3x + 1) + C，系数 1/3 来自 dx = du/3。

把积分过程写进作业

编辑器里打 \int 得到积分号，上下限用 _ 和 ^，\,dx 让 dx 与被积函数隔开一点；命令随打随显，按空格结束。底部符号面板「大型运算」页签里有积分号、二重积分等模板，点一下再填空。公式大全的「积分学」分类也有定积分、反常积分等公式，可以点「插入」载入。

MathTool符号面板大型运算页签与正割积分

多条积分步骤要放进 Markdown 笔记时，独立公式单独成段的写法见Markdown 公式换行；转进 Word 后字体出了问题，按公式转换字体丢失的顺序排查。

拿到一道不定积分题时的五步判断顺序

不定积分算得对不对，求导回去便知：例 2 的 ½e^(x²) 求导回到 x·e^(x²)，说明第 12 条套对了。表里 24 条都能这样自查。

常见问题

积分表要背吗？: 前 13 条要背熟，它们就是基本初等函数导数表倒过来，考试和作业里几乎每道题都会用。第 14 到 22 条也建议记住，记不牢时可以现场推：第 14、15 条用凑微分，第 18、19 条分别靠凑微分和拆分式，第 20 到 22 条可用三角代换推；第 16、17 条要先同乘一个因式再凑微分，记结论更省事。双曲函数两条用得少，知道即可。背完每天挑一条，对右边求导，看能否还原成左边的被积函数。