无穷符号复制：∞与正负无穷的写法

无穷符号复制下面这一个就够：∞（码位 U+221E），正无穷写 +∞，负无穷写 −∞，都可以直接选中复制。负无穷前面那一横是减号 −（U+2212），和键盘上的连字符 - 是两个字符，从本文复制可以保证拿到的是减号。下面的表列出 ∞ 的各种输入方式与公式写法，后面讲 +∞、−∞、∞ 三者在极限和区间里的区别。

速查表：∞ 的复制、输入与源码

表中的 Alt + 236 来自旧 DOS 代码页 437，那张表里 236 号字符就是 ∞。输入命令 \infty 时符号随打随显，按空格结束命令接着写。

+∞、−∞ 与 ∞ 在极限里的区别

∞ 不带符号时，x → ∞ 表示 |x| 无限增大，x 朝正、负两个方向走都算；+∞ 和 −∞ 只管一个方向。两个方向的结果不同，不带符号的极限就不存在。

例：反正切。 x → +∞ 时 arctan x 趋于 π/2，x → −∞ 时趋于 −π/2，两个方向的值不同，所以 x → ∞ 时 arctan x 的极限不存在：

\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\quad\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}

例：指数函数。 x → +∞ 时 eˣ 无限增大，x → −∞ 时 eˣ 趋于 0。写成 x → ∞ 就没法给出一个结论，必须分开写。

例：有理函数。 分子分母同次时，两个方向的极限相同，写 ∞ 或 +∞ 都行。比如 (2x + 1)/(x − 3)，x 无论朝哪边走，结果都是首项系数之比 2。

区间与集合里的写法

区间端点有无穷时，那一侧一律用圆括号，因为无穷大取不到。「x ≤ 0 或 x ≥ 3」写成区间是：

(-\infty,\,0]\cup[3,\,+\infty)

全体实数写 (−∞, +∞)，也可以直接写 ℝ。集合论里的「可数无穷」用阿列夫零 ℵ₀ 表示，它是基数，和极限里的 ∞ 分开使用。

常见错误：长得像 ∞ 的字符

区间写成 [0, +∞] 也是常见错误，无穷那一侧要换回圆括号。从网页复制带 ∞ 的公式出现方框或乱码，先按网页公式复制乱码确认复制到的是字符还是源码；粘进新文档后再按公式复制里的顺序复查上下标和小字符。

只要两个方向的极限不相等，就不能笼统写 x → ∞：反正切是这样，eˣ 也是这样。拿不准时，把 +∞ 和 −∞ 各写一行，分别求出来再下结论。

延伸阅读

• 网页公式复制乱码：复制带无穷符号的公式乱码时先确认内容形态
• 公式复制：公式复制到新材料后如何复查
• Markdown 公式换行：极限式写进 Markdown 时独立公式单独成段