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等比数列公式：通项、求和与q=1的情况

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等比数列公式有三条要记：通项 aₙ = a₁qⁿ⁻¹；公比 q ≠ 1 时前 n 项和 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时每一项都等于 a₁，Sₙ = na₁。求和公式的分母是 1 − q，q = 1 会让分母为零，所以两种情况必须分开写，题目里公比是字母时要先讨论。下面给公式表、错位相减的推导、三道例题和无穷等比数列的求和。

公式速查

内容 公式 条件
通项 aₙ = a₁qⁿ⁻¹ a₁ ≠ 0，q ≠ 0
通项（任意两项） aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ 同上
前 n 项和 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) q ≠ 1
前 n 项和（用末项） Sₙ = (a₁ − aₙq)/(1 − q) q ≠ 1
前 n 项和 Sₙ = na₁ q = 1
等比中项 aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁ 各项非零
下标积性质 m + n = s + t 时 aₘaₙ = aₛaₜ
无穷等比数列和 S = a₁/(1 − q) |q| < 1

q > 1 时写成 a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) 更顺手，分子分母同时变号，值不变。棋盘放麦粒的老问题就是它：第 1 格 1 粒、以后每格翻倍，a₁ = 1、q = 2，前 8 格共 2⁸ − 1 = 255 粒，64 格共 2⁶⁴ − 1 粒。

推导：错位相减

把 Sₙ 写出来，两边同乘 q，再与原式相减，中间的项上下错开一位后全部抵消，只剩首尾两项。写成一般式，Sₙ 与 qSₙ 上下对齐后，除了 Sₙ 的首项 a₁ 和 qSₙ 的末项 a₁qⁿ，其余各项一一相同：

S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\ \Rightarrow\ (1-q)S_{n}=a_{1}(1-q^{n})
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错位相减时中间各项上下错开一位抵消

最后一步要两边除以 1 − q，这正是 q = 1 必须单独处理的原因：q = 1 时上式两边都是 0，得不到 Sₙ，而此时每一项都是 a₁，直接数出 Sₙ = na₁。

等比数列前n项和按q等于1与不等于1分段

三道例题与无穷求和

例 1　直接套公式。 a₁ = 3、q = 2，求 S₆。

S_{6}=\frac{3(1-2^{6})}{1-2}=\frac{3\times(-63)}{-1}=189
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验算：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189；用末项公式 (3 − 96 × 2)/(1 − 2) = 189。

编辑器里首项3公比2的前六项和计算

例 2　公比为负。 a₁ = 8、q = −1/2，求 S₅。S₅ = 8 × [1 − (−1/32)] ÷ (3/2) = 8 × 33/32 × 2/3 = 11/2。逐项相加：8 − 4 + 2 − 1 + 0.5 = 5.5，一致。

例 3　公比未知，先排除 q = 1。 已知 S₃ = 7、S₆ = 63，求首项与公比。若 q = 1，则 S₆ = 2S₃ = 14，与 63 矛盾，所以 q ≠ 1。两式相除得 S₆/S₃ = 1 + q³ = 9，q = 2，再由 S₃ = a₁(1 + 2 + 4) = 7 得 a₁ = 1。验算：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63。

无穷等比数列：|q| < 1 才有和。 |q| < 1 时 qⁿ 随 n 增大趋于 0，前 n 项和趋于 a₁/(1 − q)。1 + 1/2 + 1/4 + … 的前 n 项和依次是 1、1.5、1.75、1.875……越来越接近 2。循环小数也能这样算：0.333… = 3/10 + 3/100 + …，首项 3/10、公比 1/10，和是 (3/10) ÷ (9/10) = 1/3。同样的算法用在 0.999… 上，首项 9/10、公比 1/10，和是 (9/10) ÷ (9/10) = 1，这就是 0.999… 等于 1 的一种说明。

公比二分之一的前n项和逐步逼近2

常见错误

  • 公比是字母却直接套公式。 求 1 + x + x² + … + xⁿ⁻¹，要分 x = 1（和为 n）与 x ≠ 1 两种写。
  • 指数写成 qⁿ 或 qⁿ⁺¹。 通项是 qⁿ⁻¹，求和公式里才是 qⁿ，拿 n = 1 代一下：a₁ = a₁q⁰。
  • 无穷求和忘了条件。 公比 2 的数列越加越大，写出 a₁/(1 − q) = −a₁ 这种负数结果，说明条件没满足。
  • 等比中项漏了负值。 4 和 9 的等比中项是 ±6，两个都满足 6² = 4 × 9。

把推导写进作业

分式用 \frac，上标 ^，分段写 q = 1 与 q ≠ 1 两种情况可以用 cases 环境，两行之间用 \\ 换行：

S_{n}=\begin{cases}na_{1}, & q=1\\ \dfrac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}, & q\neq1\end{cases}
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公式大全的「数列」分类里，等比数列通项、两种情况的求和、无穷等比数列求和都有，点「插入」就能载入编辑器。整套推导要放进 Word 时，先按Word公式对象编辑里的三项检查确认公式能改。

做等比求和题，动笔前先问一句「q 会不会等于 1」：例 3 正是先排除了这种情况，才敢把两式相除。

延伸阅读

常见问题

无穷等比数列怎么求和？
只有公比的绝对值小于 1 时才能求和，结果是首项除以一减公比。比如首项 1、公比二分之一，和是 2；循环小数零点三三三可以看成首项十分之三、公比十分之一，和是三分之一。公比绝对值大于或等于 1 时，前 n 项和没有固定的极限，这样的无穷数列不能求和。