MathTool

一次函数图像：k与b决定经过哪几个象限

更新于

一次函数图像是一条直线，它经过哪几个象限，只看 y = kx + b 里 k 和 b 的正负：k 决定直线从左往右是上升还是下降，b 决定它与 y 轴交在正半轴还是负半轴。四种组合对应四个答案：k > 0、b > 0 经过第一、二、三象限；k > 0、b < 0 经过第一、三、四象限；k < 0、b > 0 经过第一、二、四象限；k < 0、b < 0 经过第二、三、四象限。下面按四种组合各画一条草图，再讲两点法画图和三道判断象限的例题。

四种组合速查

k 的符号 b 的符号 直线走向 与 y 轴交点 经过的象限 草图示例
k > 0 b > 0 左低右高 正半轴 一、二、三 y = ½x + 2
k > 0 b < 0 左低右高 负半轴 一、三、四 y = 2x − 3
k < 0 b > 0 左高右低 正半轴 一、二、四 y = −x + 3
k < 0 b < 0 左高右低 负半轴 二、三、四 y = −2x − 1
k > 0 b = 0 左低右高 原点 一、三 y = 3x
k < 0 b = 0 左高右低 原点 二、四 y = −x

记法是先用 k 定方向，再用 b 定交点。k > 0 的直线一定穿过第一、三象限，b > 0 时多经过第二象限，b < 0 时多经过第四象限；k < 0 的直线一定穿过第二、四象限，b > 0 时多经过第一象限，b < 0 时多经过第三象限。所以不过原点的直线恰好经过 3 个象限，过原点的只经过 2 个。

四条草图按从左到右的走法描述如下：

  • y = ½x + 2：与 x 轴交于 (−4, 0)，与 y 轴交于 (0, 2)；从左下方的第三象限升上来，穿过第二象限，进入第一象限。
  • y = 2x − 3：与 y 轴交于 (0, −3)，与 x 轴交于 (1.5, 0)；从第三象限升到第四象限，再进入第一象限。
  • y = −x + 3：与 y 轴交于 (0, 3)，与 x 轴交于 (3, 0)；从第二象限降下来，经过第一象限，进入第四象限。
  • y = −2x − 1：与 x 轴交于 (−0.5, 0)，与 y 轴交于 (0, −1)；从第二象限降到第三象限，再进入第四象限。

k大于0的两条直线：y=½x+2与y=2x−3及其与两轴交点

k小于0的两条直线：y=−x+3与y=−2x−1及其与两轴交点

两点法画图的三步

两点确定一条直线，所以画一次函数只需要两个点。

  1. 列表：取两个好算的 x 值。最省事的是两个交点：令 x = 0 得 (0, b)，令 y = 0 得 (−b/k, 0)。交点落在格子中间不好描时，改取 x = 0 和 x = 1。
  2. 描点：在坐标系里标出这两个点。
  3. 连线：过两点画直线，两头都画出格子，并在线旁写上解析式。

以 y = 2x − 3 为例：x = 0 时 y = −3；令 y = 0 得 x = 1.5，这个点在格子中间，改取 x = 1，得 y = −1。描出 (0, −3) 和 (1, −1) 两点连线，再看一眼：直线从左下往右上，和 k = 2 > 0 对得上。

y=2x-3:\quad x=0\Rightarrow y=-3,\qquad x=1\Rightarrow y=-1
在编辑器中打开

三道判断象限的例题

例 1 y = −3x + 6 经过哪几个象限？k = −3 < 0，b = 6 > 0，对照速查表是第一、二、四象限，第三象限不经过。验证一下：它与两轴交于 (0, 6) 和 (2, 0)，两点都在正半轴上，连线向左上延伸进第二象限，向右下延伸进第四象限。

例 2 y = 4x − 5 经过哪几个象限？k = 4 > 0，b = −5 < 0，经过第一、三、四象限。与两轴交于 (0, −5) 和 (1.25, 0)；再取 x = 2 得 y = 3，点 (2, 3) 在第一象限，与结论一致。

例 3 已知直线 y = kx + b 经过第一、三、四象限，判断直线 y = bx + k 经过哪几个象限。

  1. 由速查表倒推：经过一、三、四象限，说明 k > 0、b < 0。
  2. 看新直线：x 前面的系数换成了 b（负数），常数项换成了 k（正数），属于「k < 0、b > 0」那一行。
  3. 结论：y = bx + k 经过第一、二、四象限。取 k = 2、b = −1 检验，新直线是 y = −x + 2，与两轴交于 (0, 2)、(2, 0)，确实经过一、二、四象限。

例3两行推理：由象限倒推k、b符号，再判断新直线

三个常见错误

  1. 把 b 当成与 x 轴交点的横坐标。b 是与 y 轴交点的纵坐标，与 x 轴的交点是 (−b/k, 0)。例 1 里 b = 6，直线与 x 轴交在 (2, 0)。
  2. 忽略 k ≠ 0。题目说「y = (m − 2)x + 3 是一次函数，图像经过第一、二、四象限」，要同时写 m − 2 ≠ 0 和 m − 2 < 0，合起来得 m < 2。若题目只说「函数」，m = 2 时它变成 y = 3，是一条平行于 x 轴的直线，只经过第一、二象限。
  3. 「图像不经过第三象限」只写 b > 0。满足这句话的是 k < 0 且 b ≥ 0：b > 0 时经过一、二、四象限，b = 0 时只经过二、四象限，两种都没有进入第三象限，漏掉等号就丢了正比例函数那一种。

编辑器里写好的例1判断：k、b符号与经过的象限

把例 3 的推理录进编辑器时，≠、⇒ 这类符号可以在 LaTeX 符号大全 里找到，点「在编辑器中打开」就带进公式编辑区。公式编辑、预览和符号面板不用登录；导出成图片或 Word 要登录并开通本站会员。

今天做完作业，挑一道判断象限的题，把「k 的符号、b 的符号、经过的象限」三行写进编辑器，在「可视化」模式里看不等号和逗号排得是否整齐，再抄进错题本。

延伸阅读

  • 全部教程文章：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的文章列表
  • 编辑器帮助中心：编辑器各区域、可视化模式与 LaTeX 模式怎么切换、哪些功能要登录

常见问题

b=0时图像有什么特点？
b 等于 0 时，一次函数变成正比例函数 y = kx，图像是一条经过原点的直线。k 大于 0 时它只经过第一、三象限，k 小于 0 时只经过第二、四象限。画图时原点已经是一个点，再取 x = 1 算出第二个点，连起来就行。