圆柱的表面积：侧面展开图与三种实际情形
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圆柱的表面积 = 两个底面的面积 + 侧面积，其中侧面积 = 底面周长 × 高。把圆柱的侧面沿一条高剪开、摊平，得到一个长方形：长是底面周长 2πr，宽是圆柱的高 h，所以侧面积是 2πrh。做实际题时先数清「有几个底面」：罐头盒两个底都算，水桶、笔筒只算一个底，压路机滚筒、烟囱、通风管只算侧面。
侧面为什么展开成长方形
拿一张商标纸包住罐头：纸的一条边绕底面一圈，长度正好是底面周长；另一条边从罐顶到罐底，长度就是高。把纸撕下来摊平，就是一个长方形，面积 = 长 × 宽 = 底面周长 × 高。
如果斜着剪开，得到的是平行四边形。它的底仍是底面周长，高仍是圆柱的高，面积和长方形一样。所以侧面积总是按「底面周长 × 高」算。
完整的展开图由三块组成：一个长方形，加上贴在它长边上的两个圆。以下面例 1 的罐头盒为例（底面直径 10 厘米、高 12 厘米），长方形长 3.14 × 10 = 31.4 厘米、宽 12 厘米，两个圆的半径都是 5 厘米。画展开图时检查一件事：圆的周长必须等于长方形的长，也就是都等于 31.4 厘米。
反过来，给出展开图也能还原圆柱：长方形的长除以 3.14 得到底面直径，宽就是高。例如侧面展开是长 18.84 厘米、宽 10 厘米的长方形，底面直径就是 18.84 ÷ 3.14 = 6 厘米，高 10 厘米。要注意同一张长方形卷法有两种，也可以把 10 厘米那条边卷成底面周长，题目一般会说明是沿哪条边卷起来的。
三种情形的公式速查
| 情形 | 常见实物 | 要算的部分 | 公式 |
|---|---|---|---|
| 两个底面都有 | 罐头盒、密封油桶 | 侧面 + 2 个底面 | S = 2πrh + 2πr² |
| 只有一个底面 | 水桶、笔筒、圆柱形鱼缸 | 侧面 + 1 个底面 | S = 2πrh + πr² |
| 只有侧面 | 压路机滚筒、烟囱、通风管、商标纸 | 侧面 | S = 2πrh |
题目给的是直径 d 时，底面周长直接写 πd，底面积写 π × (d ÷ 2)²。课本计算一般取 π ≈ 3.14，结果按题目要求取位数。三种情形放在一起看：
三道例题一步一步写
例 1 两个底面都算。 一个铁皮罐头盒底面直径 10 厘米、高 12 厘米，做一个这样的罐头盒至少要多少平方厘米铁皮？
- 底面积：3.14 × 5² = 78.5，两个底共 78.5 × 2 = 157
- 侧面积：3.14 × 10 × 12 = 376.8
- 表面积：157 + 376.8 = 533.8（平方厘米）
例 2 无盖，只算一个底。 一个圆柱形水桶没有盖，底面直径 4 分米、高 5 分米，做这个水桶至少用多少平方分米铁皮？
- 底面积：3.14 × 2² = 12.56
- 侧面积：3.14 × 4 × 5 = 62.8
- 合计：12.56 + 62.8 = 75.36（平方分米）
例 3 只算侧面。 压路机前轮是圆柱形，直径 1.2 米、长 2 米。前轮滚动一周压过的路面，就是它的侧面积：3.14 × 1.2 × 2 = 7.536 平方米；滚动 10 周压过 75.36 平方米。这里的「长」就是圆柱的高，滚筒横着放，别被摆放方向带偏。
容易算错的三处
- 无盖水桶多加了一个底。 例 2 若按两个底算，得到 87.92 平方分米，多出来的 12.56 正好是一个底面积。
- 把直径当半径。 例 1 若把 10 当成半径，底面积算成 314，是正确值 78.5 的 4 倍。
- 把体积当侧面积。 3.14 × 5² × 12 = 942 是例 1 罐头盒的体积（立方厘米），单位都不一样，和侧面积 376.8 不是一回事。
在编辑器里排这组公式
给孩子讲题或出练习卷时，公式可以排进本站编辑器：π 输入 \pi 后按空格结束命令，也可以在底部符号面板「常用」页签点；r^2 输完 2 会自动退出上标。「表」「侧」「底」这些中文下标放进 \text{}：
S_{\text{表}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=2\pi rh+2\pi r^{2}
三类题里，无盖那一类最容易多算一个底。整理错题时，可以把例 2 的算式排好，在后面用 \text{} 注一句「只有一个底」，复习时一眼就能看到这道题错在哪。
延伸阅读
常见问题
- 侧面展开是正方形说明什么？
- 说明这个圆柱的底面周长正好等于它的高。沿高剪开后，展开图的一条边是底面周长，另一条边是高，两边相等才是正方形。例如底面直径 2 分米的圆柱，底面周长是 6.28 分米，高也得是 6.28 分米。题目反过来问时，已知正方形边长，用边长除以圆周率就得到底面直径。