牛吃草问题：先求每天长草量再求原有草量

牛吃草问题分三步解：设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份；用两次的「牛数 × 天数」算出两次各吃了多少份，相减再除以天数差，得到每天新长的草；再用任意一次的总量减去这些天新长的草，得到原有草量。有了这两个量，问「多少头牛吃几天」时，先让一部分牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草。下面配 2 道例题、一张整理表，并补上草越吃越少的变式。

三步是怎么来的

草地在被吃的同时还在长，所以两次吃掉的总量不一样多：吃得久的那次，多吃的正是多出那几天新长的草。设每天长草 v 份、原有草 G 份，两次各是 N₁ 头牛吃 t₁ 天、N₂ 头牛吃 t₂ 天，那么两次吃掉的总量分别是 N₁t₁ 份和 N₂t₂ 份，它们都等于「原有草量 + 这些天新长的草」。两式相减，原有草量抵消，只剩下天数差那几天新长的草。题目里的牛、抽水机、检票口都只是外衣，只要「原有一批、同时均匀增加、同时被消耗」这三点都在，就能套这三步。

第一步只是把「头」和「天」换成同一个单位「份」；第二步用相减消掉原有草量；第三步代回任意一次求原有草量。每一步都能单独验算，这是它比直接套公式稳的地方。写成公式就是下图这两个式子，其中 v 是每天长草量、G 是原有草量；做题时不必背它，按三步列式得到的结果与它一致。

例 1：已知两种吃法，求 27 头牛吃几天

一片草地，10 头牛可以吃 22 天，16 头牛可以吃 10 天。草每天均匀生长，27 头牛可以吃几天？

先把题目的数整理成表，三步对应表里的三行：

最后一行的 27 − 5：每天新长 5 份，正好够 5 头牛吃，这 5 头牛只管新草；其余 22 头牛吃原有的 110 份，110 ÷ 22 = 5 天。验算：5 天里原有 110 份加新长 25 份共 135 份，27 × 5 = 135。

例 2：换个外衣，求需要几台

一口井不断均匀涌出泉水。用 8 台抽水机 15 小时能把水抽干，用 12 台 9 小时能抽干。要在 6 小时内抽干，需要几台？

把 1 台抽水机 1 小时抽的水记 1 份，和牛吃草完全同构：

• 两次各抽 8 × 15 = 120 份、12 × 9 = 108 份；
• 每小时涌水 (120 − 108) ÷ (15 − 9) = 2 份；
• 原有水量 120 − 2 × 15 = 90 份；
• 6 小时抽干：原有 90 份每小时要抽掉 90 ÷ 6 = 15 份，再加 2 台专抽新涌的水，共 17 台。

验算：17 台 6 小时抽 102 份，原有 90 份加 6 小时涌出的 12 份也是 102 份。检票口排队、水池进水这类题都照这个结构写。

变式：草越吃越少

题目若说天冷草每天均匀枯萎，两次相减得到的就是每天减少量。例如 20 头牛吃 5 天、15 头牛吃 6 天：两次各吃 100 份、90 份，牛少的那次反而吃得久，吃掉的总量却少，说明这 1 天里草减少了 100 − 90 = 10 份。原有草量 = 100 + 10 × 5 = 150 份，用第二次核对：90 + 10 × 6 = 150。

这里容易照搬例 1 写成 100 − 10 × 5，得到 50 份，代回第二次就对不上。先判断草是在长还是在减，再决定是减还是加。

例 1 的三行算式可以在编辑器里用 aligned 写成三行，发给学生时每一步的来源一目了然：

\begin{aligned}v&=(220-160)\div(22-10)=5\\G&=220-5\times 22=110\\t&=110\div(27-5)=5\end{aligned}

讲这道题时可以先只给前两行，让学生自己推出第三行 t 的式子，再对照这三行检查。

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