配方法解一元二次方程：加一次项系数一半平方

配方法解一元二次方程分四步：移项，把常数项移到等号右边；二次项系数化为 1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方；最后开平方求出两个根。关键在第三步的「两边」：左边加了多少，右边也要加多少，漏加右边是这类题最常见的错。右边配完如果是负数，方程就没有实数根。

四步速查

第 3 步为什么加「一半的平方」：完全平方公式 (x + m)² = x² + 2mx + m²，一次项系数是 2m，所以 m 正好是一次项系数的一半，要补上的常数是 m²。比如 x² − 8x 的一次项系数是 −8，一半是 −4，补上 (−4)² = 16 就成了 (x − 4)²。

第 4 步的 n 决定根的情况：n > 0 有两个不相等的实数根，n = 0 有两个相等的实数根，n < 0 没有实数根。例如 x² − 4x + 7 = 0 配方后得 (x − 2)² = −3，右边是负数，方程没有实数根。

配方法和公式法的关系也值得记一下：一元二次方程的求根公式，本身就是对一般式用配方法推出来的。所以配方法是「通用解法」，任何一元二次方程都能配；只是遇到系数复杂的题，直接套公式更省步骤。课本通常先讲配方法，再用它推导求根公式，学会配方，公式里每一项的来历也就清楚了。

三道例题

例 1 解方程 x² − 8x + 1 = 0。

1. 移项：x² − 8x = −1。
2. 二次项系数已经是 1，跳过。
3. 两边加 (−8 ÷ 2)² = 16：x² − 8x + 16 = −1 + 16，即 (x − 4)² = 15。
4. 开平方：x − 4 = ±√15，所以 x₁ = 4 + √15，x₂ = 4 − √15。

检验：两根之和是 8、之积是 16 − 15 = 1，正好等于原方程一次项系数的相反数和常数项。

例 2 解方程 3x² − 6x − 1 = 0（二次项系数不是 1）。

移项得 3x² − 6x = 1；两边除以 3 得 x² − 2x = 1/3，右边的 1 也要跟着除；两边加 1 得 (x − 1)² = 4/3；开平方 x − 1 = ±2√3/3，所以 x = 1 ± 2√3/3，约为 2.15 和 −0.15。推导过程可以直接复制：

\begin{aligned}3x^2-6x&=1\\x^2-2x&=\frac{1}{3}\\x^2-2x+1&=\frac{1}{3}+1\\(x-1)^2&=\frac{4}{3}\\x&=1\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

例 3 解方程 x² + 5x + 4 = 0（一次项系数是奇数）。

移项得 x² + 5x = −4。一次项系数 5 的一半是 5/2，平方是 25/4，两边都加上：(x + 5/2)² = −4 + 25/4 = 9/4。开平方 x + 5/2 = ±3/2，得 x₁ = −1，x₂ = −4。代回检验：1 − 5 + 4 = 0，16 − 20 + 4 = 0。一次项系数是奇数时别怕分数，照样加一半的平方，最后往往能约成整数。

漏加右边的错对对照

以例 1 为例，错误写法只在左边加了 16：

• 错：x² − 8x + 16 = −1，于是 (x − 4)² = −1，得出「方程没有实数根」。
• 对：x² − 8x + 16 = −1 + 16，(x − 4)² = 15，x = 4 ± √15。

有个办法能当场发现这个错：原方程的判别式 Δ = 64 − 4 = 60 > 0，一定有两个实数根，配方却得出无实数根，说明某一步漏了。另外两个常见错也顺带对照一下：第 3 步把「一半的平方」算成「一半」，两边只加 4；第 4 步开平方只写正根，丢掉了 x₂ = 4 − √15。

三道例题对应配方的三种情形：系数整齐、二次项系数不是 1、一次项系数是奇数。拿到新题先认出是哪一种，再决定先除系数还是准备算分数。

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