环形跑道相遇追及：同向差一圈与反向合一圈

环形跑道相遇追及只有两条关系：两人同地同时反向跑，每相遇一次，两人合起来正好跑完一圈，所以相遇时间 = 周长 ÷ 速度和；同地同时同向跑，快的人每追上慢的人一次，就比慢的人多跑一圈，所以追及时间 = 周长 ÷ 速度差。反向看「合一圈」，同向看「差一圈」，跑道长度就是那个路程和或路程差。下面用速查表和 3 道例题把这两条讲透。

速查表：四种情形的路程关系

和直线上的相遇不同，环形跑道上两人不用「掉头」，所以第 n 次相遇就是合跑 n 圈，而直线上往返相遇的第 n 次是 2n − 1 个全程。这一点最容易从直线题带错过来。

表里说的都是同地出发。如果两人从跑道上不同的两点出发，第一次相遇或追上时，路程和或路程差就是起点之间的那段跑道，而不是一整圈；从第二次开始，才每次再加一圈。比如在一圈 600 米的跑道上，甲在乙身后 300 米处同时同向出发，甲每分钟比乙多跑 20 米，第一次追上只要 300 ÷ 20 = 15 分钟，第二次追上再过 600 ÷ 20 = 30 分钟。

例题示范：一步一步写

例 1 反向。 环形跑道一圈 600 米，甲每分钟跑 70 米，乙每分钟跑 50 米，两人从同一地点同时反向出发，几分钟后第一次相遇？

速度和 70 + 50 = 120 米/分，相遇时间 600 ÷ 120 = 5 分钟。核对：甲跑 350 米，乙跑 250 米，合起来正好一圈。

例 2 同向。 还是这两人，改成同地同时同向出发，甲第一次追上乙要几分钟？

速度差 70 − 50 = 20 米/分，追及时间 600 ÷ 20 = 30 分钟。核对：甲跑 2100 米是 3.5 圈，乙跑 1500 米是 2.5 圈，差正好 1 圈。第 3 次追上就是 3 × 30 = 90 分钟。

例 3 反推速度。 一圈 540 米的跑道，两人同地同时出发。反向跑时每 3 分钟相遇一次，同向跑时 18 分钟后快的人第一次追上慢的人。两人的速度各是多少？

反向合一圈：速度和 = 540 ÷ 3 = 180 米/分；同向差一圈：速度差 = 540 ÷ 18 = 30 米/分。这就变成了和差问题：快的人 (180 + 30) ÷ 2 = 105 米/分，慢的人 (180 − 30) ÷ 2 = 75 米/分。核对：18 分钟里快的人跑 1890 米，慢的人跑 1350 米，差 540 米，正好一圈。

三个常见错误

1. 同向用了速度和。 例 2 若写 600 ÷ 120 = 5 分钟，5 分钟时甲只比乙多跑 100 米，根本没追上。
2. 同地出发以为路程差是 0。 两人站在同一起点，看上去没有距离，其实快的人要多跑一整圈才能再遇到慢的人，路程差是周长。
3. 第 n 次套用直线题的 2n − 1。 环形跑道上两人一直朝前跑，第 2 次相遇合跑 2 圈，不是 3 圈。

写解答时，先在草稿上画个圈，标出起点和各自的方向，再判断是「合一圈」还是「差一圈」。例 3 的速度和、速度差用 \begin{cases} 上下排成一组，就是上面那组方程组；把周长和时间改成你手上那道题的数，放进讲义前逐行对一遍。

延伸阅读

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