圆的面积周长公式：扇形与圆环一并速查

圆的面积周长公式只有两条：周长 C = 2πr = πd，面积 S = πr²。扇形是圆的一部分，按圆心角占 360° 的比例从这两条推出来；圆环是大圆减小圆，面积为 π(R² − r²)。下面按圆、半圆、扇形、圆环的顺序列出周长和面积，每条配一道 π 取 3.14 的算例，结果可以代回公式自己核对。

圆与半圆：周长和面积

周长公式里的 π 本来就是「周长 ÷ 直径」这个比值，所以不论圆大圆小，周长总是直径的 π 倍，约 3.14 倍；用绳子绕一个圆柱形杯子量一圈，再量杯口直径，两数相除就能得到接近 3.14 的值。面积公式可以这样理解：把圆等分成很多小扇形，拼成一个近似长方形，长是半个周长 πr，宽是半径 r，面积就是 πr × r = πr²。

半圆的周长最容易错：它是半条圆弧加一条直径，不是圆周长的一半。r = 3 时半条弧长 9.42，再加直径 6，得 15.42。

已知周长求面积要倒着走一步：先由 r = C ÷ 2π 求半径，再算面积。周长 31.4 的圆，r = 31.4 ÷ 6.28 = 5，面积 3.14 × 25 = 78.5。也可以直接用 S = C² ÷ 4π，两种算法结果相同。

半径和周长、面积的比例关系也常考：半径扩大到 2 倍，周长扩大到 2 倍，面积扩大到 4 倍，因为面积里是半径的平方。

扇形：弧长、周长和面积

圆心角为 n°、半径为 r 的扇形，弧长是整个圆周长的 n/360，面积是整个圆面积的 n/360：

扇形面积还有一种写法 S = lr ÷ 2（l 为弧长），和三角形「底 × 高 ÷ 2」的形式一样，可以用来互相核对。扇形的周长是弧长加两条半径：C = l + 2r。

算例：r = 10，圆心角 72°。弧长 l = 72 × 3.14 × 10 ÷ 180 = 12.56；面积按圆心角算 72 × 3.14 × 100 ÷ 360 = 62.8，按弧长算 12.56 × 10 ÷ 2 = 62.8，两种一致；周长 12.56 + 20 = 32.56。

反过来求圆心角也常考：弧长 6.28、半径 6 的扇形，n = 180 × 6.28 ÷ (3.14 × 6) = 60°，代回弧长公式 60 × 3.14 × 6 ÷ 180 = 6.28，对得上。已知扇形面积和圆心角求半径同理，先把公式变形再代数。

高中改用弧度制后，圆心角 α（弧度）的扇形公式更简洁，写成 LaTeX 如下。上面的 72° 等于 2π/5 弧度，代入得 l = 4π ≈ 12.57，与 12.56 只差在 π 的取值上。

l=\alpha r,\qquad S=\frac{1}{2}\alpha r^{2}=\frac{1}{2}lr

圆环：面积与内外周长

圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积 = π(R² − r²)，也能写成 π(R + r)(R − r)，后一种在 R、r 都较大时好算。圆环没有「一条周长」，题目说圆环周长时，指内外两条圆周的和：2πR + 2πr。

算例：R = 6，r = 4。R² − r² = 36 − 16 = 20，面积 3.14 × 20 = 62.8；用 (R + r)(R − r) = 10 × 2 = 20，结果相同。内外周长之和 37.68 + 25.12 = 62.8，这里恰好和面积数值相等，是巧合，单位也不同。

四处常见差错

1. 圆环先减半径再平方。 π(6 − 4)² = 4π，比正确的 20π 小得多，要先平方再相减。
2. 半圆周长只算弧。 漏了直径，r = 3 时会得 9.42 而不是 15.42。
3. 扇形周长漏两条半径。 周长是 l + 2r，只写弧长就只是那段弧。
4. 直径代进 πr²。 题目给直径 d 时先除以 2，或者直接用 S = πd² ÷ 4。

在编辑器里写这几条公式时，π 直接打 \pi 按空格结束，分式用符号面板「常用」页签里的分式模板，进分母按 ↓。

把扇形那道算例抄进编辑器时，建议把「按圆心角」和「按弧长」两种算法并排写成两行，交作业时老师一眼能看到你验算过。

延伸阅读

• Word公式对象编辑：把圆的算式放进 Word 后，修改公式对象前先查三项
• 网页公式复制乱码：从网页复制带 π 的公式出现乱码时，先确认内容形态
• 公式与教程索引：按使用技巧、常见问题、资讯动态分类的文章列表