二项式定理求常数项：令通项中x的指数为0

用二项式定理求常数项分三步：写出通项 Tᵣ₊₁ = Cₙʳ aⁿ⁻ʳ bʳ，把 x 的指数整理成关于 r 的一次式，令这个指数等于 0 解出 r，再代回通项算出系数。r 必须是 0 到 n 之间的整数，解出分数或超出范围，就说明展开式里没有常数项。下面是可以直接用在备课和复习里的三步板式、3 道高考风格例题，以及二项式系数与项的系数的对照。

三步板式

第一步，写通项。把 (a + b)ⁿ 里的 a、b 连同符号、系数原样写进通项，例如 (x² − 1/x)⁶ 的 b 是 −1/x，负号要跟着 b 走，漏掉它，r 为奇数的项符号全错。

第二步，整理指数。根式先化成分数指数（√x 写成 x 的 ½ 次方），倒数化成负指数，再把 x 的指数合并成一个关于 r 的式子，数字系数和符号单独提到前面。

第三步，令指数为 0。解出 r，检查它是 0 到 n 之间的整数，再代回第二步提出来的数字系数。求第几项时注意，r 对应的是第 r + 1 项。

为什么令指数为 0：常数项就是不含 x 的项，而 x 的零次方等于 1，所以「x 的指数为 0」和「不含 x」是一回事。同样的思路可以求任意指定的项：要 x² 的系数，就令指数等于 2；要有理项，就让指数取整数，再逐个检验 r 的取值范围。

课堂上讲这类题，建议把通项的一般形式单独写一行板书，学生照着代：

T_{r+1}=C_n^r\,a^{n-r}\,b^r\quad(r=0,1,2,\cdots,n)

三道例题

例 1 求 (x² − 1/x)⁶ 展开式的常数项。通项 Tᵣ₊₁ = C₆ʳ (x²)⁶⁻ʳ (−1/x)ʳ = (−1)ʳ C₆ʳ x¹²⁻³ʳ。令 12 − 3r = 0，得 r = 4。常数项是 (−1)⁴ C₆⁴ = 15，它是展开式的第 5 项。

三步在例 1 里分别对应：写出通项、整理成 x¹²⁻³ʳ、令 12 − 3r = 0。

例 2 求 (2x − 1/√x)⁶ 展开式的常数项。这道题的根号和数字系数都要处理，先把通项整理好：

T_{r+1}=C_6^r(2x)^{6-r}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^r=(-1)^r2^{6-r}C_6^r\,x^{6-\frac{3r}{2}}

令 6 − 3r/2 = 0，得 r = 4。常数项是 (−1)⁴ × 2² × C₆⁴ = 4 × 15 = 60。2 的指数是 6 − r，不是 r，代错会得到 240。

这道题可以顺带考一个变式：问「展开式中 x√x 这一项的系数」，x√x 就是 x 的 3/2 次方，只要把第三步的 0 换成 3/2，令 6 − 3r/2 = 3/2，得 r = 3，系数是 (−1)³ × 2³ × C₆³ = −8 × 20 = −160。同一个通项，改一个数就换一道题，备课时很省事。

例 3 求 (x + 1)(x − 2/x)⁵ 展开式的常数项。两个因式相乘，常数项有两个来源：第一个因式里的 x 乘第二个因式的 x⁻¹ 项，第一个因式里的 1 乘第二个因式的常数项。(x − 2/x)⁵ 的通项是 C₅ʳ (−2)ʳ x⁵⁻²ʳ。令 5 − 2r = 0，r 不是整数，所以第二个因式没有常数项；令 5 − 2r = −1，得 r = 3，x⁻¹ 项的系数是 C₅³ × (−2)³ = 10 × (−8) = −80。合起来，常数项是 x · (−80x⁻¹) = −80。

二项式系数与项的系数：别混

题目问「二项式系数最大的项」看的是组合数，n = 6 时是中间的第 4 项；问「系数最大的项」要把数字系数算进去，两个答案往往不是同一项。

录组合数时，Cₙʳ 可以写成 C_n^r，上标和下标模板在符号面板「常用」页签；也可以用 \binom{n}{r} 写成括号形式，按教材习惯二选一，全卷保持一致。

出一套复习题时，可以把三道例题的通项各写成一条公式，下面留空让学生填 r 的值和常数项，讲评时再把答案补上。

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