等差数列求和公式：两种形式与推导

等差数列求和公式有两种形式：已知首项和末项时用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2，已知首项和公差时用 Sₙ = na₁ + n(n − 1)d/2。两者由通项 aₙ = a₁ + (n − 1)d 互相推出，推导用的是「倒序相加」：把数列正着写一遍、倒着写一遍，上下对齐相加，每一对的和都等于 a₁ + aₙ。下面先给公式与性质表，再写推导，然后做三道例题。

公式与性质速查

最后一行说明 Sₙ 是关于 n 的二次式且常数项为 0，d ≠ 0 时它的图像是过原点的抛物线上的一串点。

推导：倒序相加

把前 n 项和正着写、倒着写：Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁。上下对齐的每一对，下标和都是 n + 1，按下标和性质它们都等于 a₁ + aₙ，一共 n 对，所以 2Sₙ = n(a₁ + aₙ)。

把通项 aₙ = a₁ + (n − 1)d 代进形式一，就得到形式二：

S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n\left[2a_{1}+(n-1)d\right]}{2}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d

三道例题

例 1　已知首末项。 剧场第一排 20 个座位，往后每排多 2 个，共 25 排，一共多少座位？末项 a₂₅ = 20 + 24 × 2 = 68，S₂₅ = 25 × (20 + 68)/2 = 1100。用形式二验算：25 × 20 + 25 × 24/2 × 2 = 500 + 600 = 1100。

例 2　已知两项求和。 已知 a₃ = 7、a₁₀ = 28，求 S₁₂。由 a₁₀ − a₃ = 7d 得 d = 3，a₁ = 7 − 2 × 3 = 1。S₁₂ = 12 × 1 + 12 × 11/2 × 3 = 12 + 198 = 210。验算：a₁₂ = 1 + 11 × 3 = 34，12 × (1 + 34)/2 = 210。

例 3　求 Sₙ 的最大值。 a₁ = 25、d = −3，前几项和什么时候最大？通项 aₙ = 28 − 3n，令 aₙ ≥ 0 得 n ≤ 9.33，所以前 9 项都是正数，第 10 项起变负，S₉ 最大：

S_{9}=\frac{9\times(25+1)}{2}=117

用二次式验算：Sₙ = (−3n² + 53n)/2，对称轴 n = 53/6 ≈ 8.83，离它最近的整数是 9，S₉ = (−243 + 477)/2 = 117，而 S₈ = 116、S₁₀ = 115。

常见错误

• 项数少算一个。 从第 5 项到第 20 项共 16 项，常见的错是写成 15 项；按 n = (aₙ − a₁)/d + 1 算。
• 形式二写成 n(n + 1)d/2。 第 1 项不带 d，第 n 项带 (n − 1) 个 d，所以是 n(n − 1)。
• 最值题直接取对称轴。 n 只能取正整数，对称轴 8.83 要比较 S₈ 与 S₉。
• 片段和的公差写成 md。 Sₘ、S₂ₘ − Sₘ 这组数的公差是 m²d，拿 m = 3 代例 2 的数列算一次就能核对：S₃ = 12、S₆ − S₃ = 39，相差 27 = 9 × 3。

把推导写进作业

下标用 _，分式用 \frac，求和号用 \sum，底部符号面板「大型运算」页签里有带上下限的求和模板；命令随打随显，按空格结束。例 1 的剧场座位也可以写成求和号的形式：

\sum_{k=1}^{25}(18+2k)=1100

公式大全的「数列」分类收了通项、求和、等差中项、下标性质几条，点「插入」就能载入编辑器改成自己的字母。

要把推导写进 Word 作业，先按Word公式对象编辑的三项检查确认公式能改；整套题有多条算式时，在文档编辑里逐条插入，再导出「Word 文档 (.docx)」，导出要登录并开通本站会员。

例 1 的剧场座位，按首末项算和按首项加公差算，都应得 1100；两种算法对不上时，先查末项是不是 20 + 24 × 2，而不是 20 + 25 × 2。

延伸阅读

• Word公式对象编辑：数列推导放进 Word 前先做三项检查
• Markdown 公式换行：推导步骤写进 Markdown 时独立公式单独成段
• 公式与教程索引：按「使用技巧 / 常见问题 / 资讯动态」分类的本站全部教程